a) Ta có tam giác ABC là tam giác nhọn và ∠ABC = 60°. Vì vậy, ta có ∠BAC = 180° - 90° - 60° = 30°.

• Tính độ dài HC:
  Trong tam giác AHC, ta có ∠AHC = 90° và ∠ACH = 30°. Vì vậy, ta có thể sử dụng công thức sin để tính độ dài HC:
  sin(30°) = HC/AC
  0.5 = HC/5
  HC = 2.5 cm

• Tính độ dài HD:
  Trong tam giác AHD, ta có ∠AHD = 90° và ∠ADH = 60°. Vì vậy, ta có thể sử dụng công thức sin để tính độ dài HD:
  sin(60°) = HD/AH
  √3/2 = HD/3
  HD = 1.5√3 cm

• Tính độ dài CD:
  Do CF vuông góc với AC và HD vuông góc với AH, nên ta có tam giác CDF và tam giác ADH đồng dạng. Vì vậy, ta có tỉ lệ:
  CD/HD = CF/AF
  CD/(1.5√3) = CF/(5 - 3)
  CD = (CF * 1.5√3)/(2)

b) Chứng minh CF.CD = CE.CA:
Ta có tam giác CEF và tam giác CAH đồng dạng do có hai góc vuông và một góc chung. Vì vậy, ta có tỉ lệ:
CF/CA = CE/CH
CF/(5) = CE/(2.5)
CF = (CE * 5)/(2.5)
CF.CD = (CE * 5 * CF)/(2.5) = CE.CA

c) Để tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC, ta cần biết thêm thông tin về độ dài các cạnh của tam giác. Với thông tin AB + BC = 8 cm, không đủ để xác định diện tích tối đa của tam giác ABC. Cần có thêm thông tin về độ dài các cạnh khác để giải bài toán này.