Cho S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60. Tìm chữ số tận cùng của S và chứng minh rằng S chia hết cho 14

Để tìm chữ số tận cùng của S, ta quan sát rằng chuỗi các số 2^1, 2^2, 2^3,... có chu kỳ 4 chữ số tận cùng là 2, 4, 8, 6. Vì vậy, ta có thể chia 60 cho 4 để tìm chữ số tận cùng của S.

60 chia 4 dư 0, vậy chữ số tận cùng của S là chữ số tận cùng của 2^4 = 16, là 6.

Để chứng minh rằng S chia hết cho 14, ta sử dụng định lý chia hết của số học. Ta biểu diễn S dưới dạng tổng các số hạng:

S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60

Ta thấy rằng S có dạng tổng của các số hạng là lũy thừa của 2. Ta có thể viết lại S dưới dạng tổng các số hạng là lũy thừa của 2 như sau:

S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60
= 2(2^0) + 2(2^1) + 2(2^2) + ... + 2(2^59)
= 2(2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^59)

Ta thấy rằng trong ngoặc đơn, ta có tổng của các số hạng là lũy thừa của 2 từ 2^0 đến 2^59. Đây là một chuỗi số hạng liên tiếp của cấp số nhân với công bội là 2. Ta có công thức tổng của cấp số nhân:

S = a(1 - r^n) / (1 - r)

Trong đó, a là số hạng đầu tiên, r là công bội, n là số hạng cuối cùng.

Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân vào tổng của các số hạng là lũy thừa của 2 từ 2^0 đến 2^59, ta có:

S = 2(1 - 2^60) / (1 - 2)
= 2(1 - 2^60) / (-1)
= -2(1 - 2^60)

Ta thấy rằng S chia hết cho 2. Ta cũng biết rằng S chia hết cho 7 (vì 2^60 chia hết cho 7). Vậy S chia hết cho 2 và 7, từ đó suy ra S chia hết cho 14.