Để chứng minh rằng M chia hết cho 31, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ:

Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Ta có M = 32²⁰²³ - 32²⁰²¹ = 2²⁵⁶ - 2²⁵⁴ = 2²⁵⁴(2² - 1) = 2²⁵⁴(4 - 1) = 3 x 2²⁵⁴.

Vì 31 là số nguyên tố và 2²⁵⁴ không chia hết cho 31, nên theo định lý Fermat nhỏ, ta có 2²⁵⁴^(31-1) ≡ 1 (mod 31).

Vì 31-1 = 30 = 2 x 3 x 5, nên ta có (2²⁵⁴)²⁰ ≡ 1 (mod 31).

Do đó, (2²⁵⁴)²⁰ x 3 ≡ 3 (mod 31).

Vì M = 3 x 2²⁵⁴, nên ta có M ≡ 3 (mod 31).

Vậy M chia hết cho 31.

Để chứng minh rằng N chia hết cho 8, ta sẽ sử dụng định lý Euler:

Định lý Euler: Nếu a và m là hai số nguyên tố cùng nhau, thì a^φ(m) ≡ 1 (mod m), trong đó φ(m) là số nguyên tố cùng nhau với m nhỏ hơn m.

Ta có N = 7⁶ + 2 x 7³ + 8²⁰²² + 1.

Vì 7 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ta sẽ tính φ(8).

Các số nguyên tố cùng nhau với 8 là 1, 3, 5, 7.

Vì vậy, φ(8) = 4.

Do đó, ta có 7⁶ ≡ 1 (mod 8) và 8²⁰²² ≡ 1 (mod 8).

Vì vậy, N ≡ 1 + 2 x 7³ + 1 + 1 ≡ 4 (mod 8).

Vậy N chia hết cho 8.

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng M chia hết cho 31 và N chia hết cho 8.