Chính minh rằng: mọi thuộc N, ta có n(nx1) (n+2) chia hết cho 3

Để chứng minh rằng mọi số tự nhiên n, ta có thể chia n(nx1) cho (n+2) và kết quả sẽ chia hết cho 3, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh qua quy nạp.

Bước 1: Kiểm tra đẳng thức đúng với n = 1
Khi n = 1, ta có cơ số là 1(1x1) và (n+2) = 3. Chia 1 cho 3 không chia hết cho 3, vì vậy đẳng thức không đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là cơ số k(kx1) chia hết cho (k+2) và kết quả cũng chia hết cho 3.

Bước 3: Chứng minh đẳng thức đúng với n = k+1, tức là cơ số (k+1)((k+1)x1) chia hết cho (k+3) và kết quả cũng chia hết cho 3.

Ta có:
(k+1)((k+1)x1) = k(kx1) + (1x1)
= k(kx1) + 1

Vì cơ số k(kx1) chia hết cho (k+2) và kết quả cũng chia hết cho 3 theo giả thiết quy nạp, ta có thể viết k(kx1) = (k+2)a và kết quả = 3b, với a và b là các số nguyên.

Vậy:
(k+1)((k+1)x1) = (k+2)a + 1
= (k+2)a + 3 - 2
= (k+2)a + 3 - 2(1)
= (k+2)a + 3 - 2(3b)
= (k+2)a - 2(3b) + 3

Ta thấy (k+2)a - 2(3b) là một số nguyên, ký hiệu là c. Vậy ta có:
(k+1)((k+1)x1) = 3c + 3
= 3(c+1)

Vì c+1 là một số nguyên, nên (k+1)((k+1)x1) chia hết cho 3.

Bước 4: Từ bước 1, 2 và 3, ta kết luận rằng đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n.

Vậy, ta đã chứng minh rằng mọi số tự nhiên n, cơ số n(nx1) chia hết cho (n+2) và kết quả cũng chia hết cho 3.