a. Ta có AM là tia phân giác của góc A nên $\angle BAM = \angle CAM$. Mà AN = AB nên $\angle BAN = \angle ABN$. Vậy ta có $\triangle ABN \cong \triangle AMN$ (cạnh chung AB, góc BAN = góc MAN, góc ABN = góc AMN). Từ đó suy ra $\angle AMB = \angle AMN$.

b. Ta có $\angle AMB = \angle AMN$ (do câu a). Mà E là giao điểm của AB và NM nên $\angle AME = \angle AMN$. Từ đó suy ra $\angle AMB = \angle AME$. Nhưng AM là tia phân giác của góc A nên $\angle BAM = \angle CAM$. Mà $\angle AMB = \angle AME$ nên $\angle BAE = \angle EAC$. Vậy ta có $\triangle ABE \sim \triangle ACE$. Từ đó suy ra $\frac{ME}{MC} = \frac{AB}{AC}$. Nhưng AN = AB nên $\frac{AB}{AC} = \frac{AN}{AM}$. Mà $\triangle ABN \cong \triangle AMN$ nên $\frac{AN}{AM} = \frac{AB}{AM} = \frac{NB}{NM}$. Từ đó suy ra $\frac{ME}{MC} = \frac{NB}{NM}$. Nhưng NK // AM nên $\frac{NB}{NM} = \frac{BK}{KM}$. Vậy ta có $\frac{ME}{MC} = \frac{BK}{KM}$. Nhưng BK = KM nên $\frac{ME}{MC} = 1$. Từ đó suy ra ME = MC.

c. Ta có NK // AM nên $\angle BNK = \angle BMA$. Nhưng AM là tia phân giác của góc A nên $\angle BMA = \angle BAC$. Vậy ta có $\angle BNK = \angle BAC$. Nhưng AB < AC nên $\angle BAC < 90^\circ$. Từ đó suy ra $\angle BNK < 90^\circ$. Vậy góc BNK là góc vuông.