Để tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình 3xy - 2x + 2y + 1 = 0, ta có thể sử dụng phương pháp giải đồng dư.

Đầu tiên, ta xem xét phương trình theo biến x:
3xy - 2x + 2y + 1 ≡ 0 (mod x)

Điều này có nghĩa là 3xy - 2x + 2y + 1 chia hết cho x. Vì vậy, ta có:

2y + 1 ≡ 0 (mod x)

Từ đó, ta suy ra:

2y ≡ -1 (mod x)

Tiếp theo, ta xem xét phương trình theo biến y:
3xy - 2x + 2y + 1 ≡ 0 (mod y)

Điều này có nghĩa là 3xy - 2x + 2y + 1 chia hết cho y. Vì vậy, ta có:

3xy - 2x + 1 ≡ 0 (mod y)

Từ đó, ta suy ra:

3xy ≡ 2x - 1 (mod y)

Bây giờ, ta sẽ xét từng trường hợp:

1. Nếu x chia hết cho 2, tức là x = 2k (với k là số nguyên), thì từ phương trình 2y ≡ -1 (mod x), ta có:

2y ≡ -1 (mod 2k)

Điều này chỉ xảy ra khi y chia hết cho 2. Vì vậy, y = 2m (với m là số nguyên).

Thay x = 2k và y = 2m vào phương trình ban đầu, ta có:

12km - 4k + 4m + 1 = 0

Simplifying the equation, we get:

3km - k + m + 1 = 0

Điều này chỉ xảy ra khi k = m + 1. Vì vậy, ta có:

x = 2k = 2(m + 1)
y = 2m

Vậy, các cặp số nguyên thỏa mãn là (x, y) = (2(m + 1), 2m) với m là số nguyên.

2. Nếu x không chia hết cho 2, tức là x = 2k + 1 (với k là số nguyên), thì từ phương trình 2y ≡ -1 (mod x), ta có:

2y ≡ -1 (mod 2k + 1)

Điều này chỉ xảy ra khi y không chia hết cho 2. Vì vậy, y = 2m + 1 (với m là số nguyên).

Thay x = 2k + 1 và y = 2m + 1 vào phương trình ban đầu, ta có:

12km + 6k + 6m + 3 - 2(2k + 1) + 2(2m + 1) + 1 = 0

Simplifying the equation, we get:

12km + 6k + 6m + 3 - 4k - 2 + 4m + 2 + 1 = 0

12km + 2k + 10m + 4 = 0

Điều này chỉ xảy ra khi 6km + k + 5m + 2 = 0. Tuy nhiên, không có cặp số nguyên (k, m) thỏa mãn phương trình này.

Vậy, chỉ có các cặp số nguyên (x, y) = (2(m + 1), 2m) với m là số nguyên thỏa mãn phương trình ban đầu.