a) Ta có:
- Tam giác OAM và OBN là tam giác vuông tại O (do Ax và By là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O).
- Ta có AM = AO - MO và BN = BO - NO.
- Vì O là tâm đường tròn nên AO = BO, suy ra AM = BN.
- Ta có MN = AM + BN = 2AM.
- Vậy tam giác MON vuông tại O và MN = AM + BN.

b) Ta có:
- Tam giác OAM và OCM là tam giác vuông tại O (do Ax và tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O qua C là tiếp tuyến chung).
- Vậy ta có góc OAM = góc OCM.
- Do đó, 4 điểm A, O, C, M cùng thuộc một đường tròn.

c) Ta có:
- Từ b), ta có 4 điểm A, O, C, M cùng thuộc một đường tròn.
- Gọi K' là giao điểm của AN và BM.
- Ta có góc OAK' = góc OCK' (do 4 điểm A, O, C, K' cùng thuộc một đường tròn).
- Do đó, ta có góc OAK' = góc OCK' = góc OCH.
- Vậy ta có 3 điểm O, A, K' thẳng hàng.
- Tương tự, ta có 3 điểm O, B, K' thẳng hàng.
- Vậy ta có 4 điểm O, A, B, K' thẳng hàng.
- Do đó, K' = K.
- Vậy K là trung điểm của CH.