Cho hình vuông ABCD có tâm O, gọi E là trung điểm của AB. DE cắt AC tại F. BF cắt CD tại I

a) Ta có DE || BC (vì DE là đường chéo của hình vuông ABCD), EF || AD (vì E là trung điểm của AB), nên theo định lí Thales, ta có:
$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{EB}=\frac{1}{1}=1$
Vậy ta có AF = FC. Mà BF cắt CD tại I, suy ra DI = IC. Do đó, D là trung điểm của IC.

b) Ta có DE || BC (vì DE là đường chéo của hình vuông ABCD), EF || AD (vì E là trung điểm của AB), nên theo định lí Thales, ta có:
$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{EB}=\frac{1}{1}=1$
Vậy ta có AF = FC. Mà BF cắt CD tại I, suy ra DI = IC. Do đó, ta có DI || AC và DI = AC. Vậy ABD là hình bình hành.

c) Ta có DE || BC (vì DE là đường chéo của hình vuông ABCD), EF || AD (vì E là trung điểm của AB), nên theo định lí Thales, ta có:
$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{EB}=\frac{1}{1}=1$
Vậy ta có AF = FC. Mà BF cắt CD tại I, suy ra DI = IC. Do đó, ta có DI || AC và DI = AC. Gọi H là trung điểm của AICH, suy ra DH || AC và DH = AC. Ta có:
$\frac{DH}{HC}=\frac{DI}{IC}=1$
Vậy ta có DH = HC. Mà H là trung điểm của AICH, suy ra AH = HC. Vậy ta có AH = HC = DH. Do đó, ta có AH || BD và AH = BD. Gọi G là giao điểm của AH và BD, suy ra AG = GH = HD. Mà H là trung điểm của AICH, suy ra HG || IC và HG = IC. Ta có:
$\frac{HG}{GI}=\frac{AH}{DI}=1$
Vậy ta có HG = GI. Mà G là trung điểm của BD, suy ra BG = GD. Do đó, ta có BG || AD và BG = AD. Vậy ABD là hình bình hành.

d) Ta có DE || BC (vì DE là đường chéo của hình vuông ABCD), EF || AD (vì E là trung điểm của AB), nên theo định lí Thales, ta có:
$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{EB}=\frac{1}{1}=1$
Vậy ta có AF = FC. Mà BF cắt CD tại I, suy ra DI = IC. Do đó, ta có DI || AC và DI = AC. Gọi H là trung điểm của AICH, suy ra DH || AC và DH = AC. Ta có:
$\frac{DH}{HC}=\frac{DI}{IC}=1$
Vậy ta có DH = HC. Mà H là trung điểm của AICH, suy ra AH = HC. Vậy ta có AH = HC = DH. Do đó, ta có AH || BD và AH = BD. Gọi G là giao điểm của AH và BD, suy ra AG = GH = HD. Mà H là trung điểm của AICH, suy ra HG || IC và HG = IC. Ta có:
$\frac{HG}{GI}=\frac{AH}{DI}=1$
Vậy ta có HG = GI. Mà G là trung điểm của BD, suy ra BG = GD. Do đó, ta có BG || AD và BG = AD. Gọi L là giao điểm của HG và AD, suy ra HL || BD và HL = BD. Mà H là trung điểm của AICH, suy ra LH || IC và LH = IC. Ta có:
$\frac{LH}{HI}=\frac{HL}{IC}=1$
Vậy ta có LH = HI. Mà L là trung điểm của HL, suy ra LH = LI. Do đó, ta có LH = HI = LI. Vậy ta có LH || OD và LH = OD. Gọi J là giao điểm của GO và DF, suy ra GJ || DF và GJ = 2DJ. Mà D là trung điểm của IC, suy ra DJ = JC. Ta có:
$\frac{GJ}{JC}=\frac{GJ}{DJ}=2$
Vậy ta có GJ = 2JC. Mà J là giao điểm của GO và DF, suy ra GJ || OD và GJ = 2OD. Do đó, ta có GJ = 2OD. Gọi L là giao điểm của HG và AD, suy ra HL || BD và HL = BD. Ta có:
$\frac{HL}{LA}=\frac{HL}{BD}=1$
Vậy ta có HL = LA. Mà L là trung điểm của HL, suy ra LH = LA. Do đó, ta có LH = LA. Vậy ta có LH || OD và LH = OD. Vậy ta có A, J, L thẳng hàng.