Cho hai đường tròn tâm O và O’ tiếp xúc ngoài tại A

a) Ta có:
- BOD là đường kính của đường tròn tâm O, nên OB vuông góc với BD.
- COE là đường kính của đường tròn tâm O’, nên OC vuông góc với CE.
- AB là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, nên OB = OC.
Do đó, ta có hai tam giác vuông BOD và COE có:
- OB = OC
- OB vuông góc với BD
- OC vuông góc với CE
Vậy, theo định lí hai tam giác vuông cân, ta có BD // CE.

b) Ta có:
- AB là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, nên góc BAO = góc CAO'.
- AB cắt đường tròn tâm O tại B và cắt đường tròn tâm O' tại C, nên góc BOC = góc COB.
- Do đó, góc BOC = góc COB = góc BAO = góc CAO'.
- Vậy, ta có góc BOC = góc COE.
- Từ a), ta đã chứng minh BD // CE.
- Vậy, ta có góc BOD = góc COE.
Từ các góc tương đương trên, ta có:
- góc BOC = góc COE
- góc BOD = góc COE
- Vậy, ta có góc BOC = góc BOD.
- Do đó, ta có tam giác BOC cân tại O.
- Tương tự, ta có tam giác BOD cân tại O.
- Vậy, ta có OB = OD.
- Nhưng OB = OC, nên ta có OB = OC = OD.
- Vậy, ta có tam giác BOC đều.
- Tương tự, ta có tam giác BOD đều.
- Vậy, ta có BD = BO = OD = OC = CE.
- Từ đó, ta có BD // CE và BD = CE.
- Vậy, ta có tam giác BDC là tam giác đều.
- Do đó, ta có ba điểm D, A, E thẳng hàng.

c) Nếu đường tròn O bằng đường tròn O', tứ giác DCE là tứ giác bình thường. Vì BD // CE và BD = CE, nên tứ giác DCE là hình bình thường.