Cho đường tròn tâm O và một điểm A ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn (O). M là một điểm trên dây cung BC (M khác B và C). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt các tia AB và AC tại và E

Để chứng minh các phần a, b, c, ta sẽ sử dụng các tính chất của các đường tròn và tam giác.

a) Ta có:
- Góc AOB và góc ACB là góc nội tiếp cùng ở cung OB, nên chúng bằng nhau (định lý cung nội tiếp).
- Góc OBM và góc OCM là góc nội tiếp cùng ở cung BM, nên chúng bằng nhau (định lý cung nội tiếp).
- Vì góc AOB = góc OBM và góc ACB = góc OCM, nên ta có tứ giác AOBM và tứ giác ACBM là tứ giác nội tiếp.
- Từ đó, ta suy ra tứ giác BODM và tứ giác MOEC là tứ giác nội tiếp (vì chúng là tứ giác có hai cạnh chung với tứ giác nội tiếp).

b) Ta có:
- Góc AOB và góc AOC là góc nội tiếp cùng ở cung AB, nên chúng bằng nhau (định lý cung nội tiếp).
- Góc OBM và góc OCM là góc nội tiếp cùng ở cung BM, nên chúng bằng nhau (định lý cung nội tiếp).
- Vì góc AOB = góc OBM và góc AOC = góc OCM, nên ta có tứ giác AOBM và tứ giác AOCM là tứ giác nội tiếp.
- Từ đó, ta suy ra tứ giác ADOE là tứ giác nội tiếp (vì chúng là tứ giác có hai cạnh chung với tứ giác nội tiếp).
- Vì góc ADO = góc AEO (cùng là góc vuông), nên ta có tam giác ADO và tam giác AEO là tam giác cân.
- Do đó, ta suy ra M là trung điểm của DE (vì OM là đường cao của tam giác ADO và tam giác AEO).

c) Ta có:
- Góc AOB và góc AOC là góc nội tiếp cùng ở cung AB, nên chúng bằng nhau (định lý cung nội tiếp).
- Góc OBM và góc OCM là góc nội tiếp cùng ở cung BM, nên chúng bằng nhau (định lý cung nội tiếp).
- Vì góc AOB = góc OBM và góc AOC = góc OCM, nên ta có tứ giác AOBM và tứ giác AOCM là tứ giác nội tiếp.
- Từ đó, ta suy ra tứ giác BODM và tứ giác MOEC là tứ giác nội tiếp (vì chúng là tứ giác có hai cạnh chung với tứ giác nội tiếp).
- Vì tứ giác BODM là tứ giác nội tiếp, nên ta có OD.OC = OB.OM (định lý tứ giác nội tiếp).
- Vì tứ giác MOEC là tứ giác nội tiếp, nên ta có OM.OE = OC.OM (định lý tứ giác nội tiếp).
- Từ đó, ta suy ra OD.OC = OB.OM = OM.OE (vì OB = OE), nên ta có OD.OC = OB.OE.