Cho (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn

Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

Định lí 1: Trên cùng một cung nhỏ AB của đường tròn (O), góc nội tiếp AOB bằng góc ngoại tiếp ACB.

Định lí 2: Trên cùng một cung nhỏ AB của đường tròn (O), tiếp tuyến tại điểm A cắt tiếp tuyến tại điểm B' thì AB' là đường đối xứng của AB qua đường tròn (O).

Định lí 3: Trong một tam giác vuông, đường cao kẻ từ đỉnh vuông góc đến cạnh huyền chia tam giác thành hai tam giác vuông cân.

Bây giờ ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán:

1) Ta có góc AOB = góc ACB (do định lí 1) và góc ABO = góc ABC (do định lí 2). Vậy ta có hai góc trong hai tam giác AOB và ACB bằng nhau, từ đó suy ra hai tam giác này đồng dạng. Do đó, ta có OA // CD.

2) Ta có góc ODE = góc OAE (do OA // CD) và góc OAE = góc OAD (do đường OA cắt đường tròn (O) tại điểm A và E nằm trên tiếp tuyến AB). Vậy ta có góc ODE = góc OAD.

Gọi M là trung điểm của BD. Ta có BM = MD (do BD là đường kính của đường tròn (O)). Khi đó, ta có góc BKM = góc KDM (do BM = MD và góc BKM = góc KDM = 90 độ). Từ đó, suy ra tam giác BKM đồng dạng với tam giác KDM.

Áp dụng định lí 3, ta có BK/KC = BM/MD = 1/2. Do đó, ta có BK/KC = 1/2.

Gọi N là trung điểm của CK. Ta có KN = NC (do CK là đường cao của tam giác BKM). Khi đó, ta có góc BKN = góc CKN (do KN = NC và góc BKN = góc CKN = 90 độ). Từ đó, suy ra tam giác BKN đồng dạng với tam giác CKM.

Áp dụng định lí 3, ta có BK/KC = BM/MD = 1/2. Do đó, ta có BK/KC = 1/2.

Vậy ta đã chứng minh được góc ODE = góc OAD và BK.KC = 4KI^2.