Để tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3,4) với đường tròn (C): x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3 = 0, ta cần xác định phương trình của đường tiếp tuyến tại điểm M.

Đầu tiên, ta cần tìm ra tọa độ của tâm của đường tròn (C). Để làm điều này, ta cần hoàn thiện hình phương trình của đường tròn:

(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) = 3
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 3 + 1 + 4
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 8

Từ phương trình trên, ta thấy tâm của đường tròn (C) có tọa độ là (1,2).

Tiếp theo, ta cần tính độ dốc của tiếp tuyến tại điểm M. Độ dốc này chính là đạo hàm của hàm số tại điểm M.

Đạo hàm của hàm số x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3 tại điểm M(3,4) là:
f'(x) = 2x - 2
f'(3) = 2(3) - 2 = 4

Độ dốc của tiếp tuyến tại điểm M là 4.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3,4) với đường tròn (C) là:
y - 4 = 4(x - 3)
y = 4x - 8