1)
a) Ta có AB = 90km và AC = 30km. Vì tam giác ABC không phải là tam giác vuông nên ta không thể áp dụng định lý Pythagore để tính độ dài BC. Tuy nhiên, ta có thể sử dụng định lí hình học để giải quyết bài toán này.

Nếu máy phát sóng ở C có bán kính hoạt động bằng 60km, thì tất cả các điểm nằm trong vùng phủ sóng của máy phát sóng đều nhận được tín hiệu. Vì vậy, thành phố B nằm trong vùng phủ sóng của máy phát sóng ở C và sẽ nhận được tín hiệu.

b) Nếu máy phát sóng ở C có bán kính hoạt động bằng 120km, thì vùng phủ sóng của máy phát sóng sẽ lớn hơn và cả hai thành phố B và A đều nằm trong vùng phủ sóng của máy phát sóng. Do đó, cả hai thành phố B và A đều nhận được tín hiệu.

2)
a) Ta có M là trung điểm của AC nên BM = MC. Vì DM = MB nên ta có DM = MC. Do đó, ta có ∆BMC = ∆DMA (theo định lí cạnh - cạnh - cạnh) và từ đó suy ra AD // BC (do hai tam giác có cặp góc tương đồng).

b) Ta có AC là đường trung bình của ∆BMC nên AM là đường cao của ∆BMC. Vì BM = MC nên ta có AM vuông góc với BC. Tương tự, ta cũng có AD vuông góc với BC. Do đó, ∆ACD cân.

c) Ta có CA = CE nên tam giác ACE cũng là tam giác cân. Do đó, đường trung bình BD của tam giác ACE sẽ đi qua trung điểm I của BE. Vậy ta chứng minh được rằng DC đi qua trung điểm I của BE.