Để phương trình (1) có nghiệm, ta cần áp dụng định lý Viète. Theo đó, tổng các nghiệm của phương trình bậc 2 là:

x1 + x2 = 2(m-1)
x1 * x2 = m^2 - 3

Ta có thể tính được x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2*x1*x2 = (2(m-1))^2 - 2*(m^2 - 3) = 4m^2 - 8m + 4 - 2m^2 + 6 = 2m^2 - 8m + 10.

Vậy biểu thức F = x1^2 + x2^2 + x1 + x2 = 2m^2 - 8m + 10 + 2(m-1) = 2m^2 - 6m + 12.

Để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số F(m) = 2m^2 - 6m + 12. Hàm số này là một hàm bậc 2 nên để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm điểm đầu dốc của đồ thị hàm số.

Đạo hàm của F(m) theo m là F'(m) = 4m - 6. Để tìm điểm đầu dốc, ta giải phương trình F'(m) = 0:

4m - 6 = 0
m = 1.5

Vậy giá trị của m để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất là m = 1.5.