Để chứng minh cung \( \widehat{AM} \) bằng cung \( \widehat{AN} \), ta cần chứng minh rằng \( M \) và \( N \) là hai điểm đối xứng nhau qua đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \).

Trước hết, ta nhắc lại một số tính chất quan trọng của tam giác nhọn và đường tròn ngoại tiếp:

1. **Tính chất của trực tâm**: Trong tam giác nhọn \( ABC \), trực tâm \( H \) là giao điểm của ba đường cao \( AD, BE, CF \).

2. **Tính chất của đường tròn ngoại tiếp**: Đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) có tâm \( O \) và bán kính \( R \).

3. **Tính chất của đường thẳng Euler**: Đường thẳng Euler của tam giác \( ABC \) đi qua các điểm \( O, H \) và trung điểm của đoạn thẳng \( OH \).

Bây giờ, ta xét đường thẳng \( EF \) cắt đường tròn ngoại tiếp tại hai điểm \( M \) và \( N \). Ta cần chứng minh rằng cung \( \widehat{AM} \) bằng cung \( \widehat{AN} \).

### Chứng minh:

1. **Góc nội tiếp và góc ở tâm**:
- Xét cung \( \widehat{AM} \) và cung \( \widehat{AN} \), ta có:
\[
\widehat{AOM} = 2 \cdot \widehat{ABM} \quad \text{và} \quad \widehat{AON} = 2 \cdot \widehat{ABN}
\]
- Do \( M \) và \( N \) nằm trên đường thẳng \( EF \), ta có \( \widehat{ABM} = \widehat{ABN} \).

2. **Đối xứng qua đường kính**:
- Đường thẳng \( EF \) cắt đường tròn tại hai điểm \( M \) và \( N \). Vì \( F \) nằm giữa \( M \) và \( E \), nên \( M \) và \( N \) là hai điểm đối xứng nhau qua đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \).

3. **Cung bằng nhau**:
- Do \( M \) và \( N \) đối xứng nhau qua đường kính, nên cung \( \widehat{AM} \) và cung \( \widehat{AN} \) bằng nhau.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng cung \( \widehat{AM} \) bằng cung \( \widehat{AN} \).