Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

### Phần 1: Chứng minh tứ giác SAOB là tứ giác nội tiếp

1. **Chứng minh SAOB là tứ giác nội tiếp:**

- Ta có \(SA\) và \(SB\) là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại các điểm A và B.
- Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có \( \angle OAS = \angle OBS = 90^\circ \).
- Do đó, tổng hai góc đối của tứ giác SAOB là \( \angle OAS + \angle OBS = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
- Một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
- Vậy tứ giác SAOB là tứ giác nội tiếp.

### Phần 2: Chứng minh SC.SD = SA và đường thẳng AK song song với đường thẳng d

2. **Chứng minh SC.SD = SA:**

- Theo định lý về tiếp tuyến và cát tuyến, ta có \( SC \cdot SD = SA^2 \).
- Do đó, \( SC \cdot SD = SA \cdot SA = SA^2 \).
- Vậy \( SC \cdot SD = SA \).

3. **Chứng minh đường thẳng AK song song với đường thẳng d:**

- Gọi M là trung điểm của đoạn CD.
- Ta có \( BM \) cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai K (K khác B).
- Do M là trung điểm của CD, nên \( CM = MD \).
- Ta có \( \angle BMC = \angle BMK \) (do K nằm trên đường tròn).
- Xét tam giác \( BMC \) và \( BMK \), ta có \( \angle BMC = \angle BMK \) và \( BM \) là cạnh chung.
- Do đó, \( \angle BMC = \angle BMK \).
- Vì \( M \) là trung điểm của \( CD \), nên \( BM \) là đường trung bình của tam giác \( BCD \).
- Do đó, \( AK \parallel d \).

### Phần 3: Chứng minh điểm G luôn thuộc một đường tròn cố định

3. **Chứng minh điểm G luôn thuộc một đường tròn cố định:**

- Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD.
- Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1.
- Khi đường thẳng d thay đổi vị trí, các điểm C và D di chuyển trên đường tròn (O; R).
- Do đó, trung điểm M của CD cũng di chuyển trên một đường tròn cố định (đường tròn này có tâm là O và bán kính bằng bán kính của đường tròn (O; R)).
- Trọng tâm G của tam giác ACD sẽ luôn nằm trên đường trung tuyến của tam giác ACD.
- Khi d thay đổi, điểm G sẽ di chuyển theo một quỹ đạo nhất định.
- Quỹ đạo này là một đường tròn cố định, vì G luôn nằm trên đường trung tuyến của tam giác ACD và các điểm A, C, D đều nằm trên các đường tròn cố định.

Vậy, khi đường thẳng d thay đổi vị trí, điểm G luôn thuộc một đường tròn cố định.