Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

### 1) Chứng minh tứ giác SAOB là tứ giác nội tiếp

Để chứng minh tứ giác SAOB là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng bốn điểm S, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn.

- Vì SA và SB là các tiếp tuyến từ điểm S đến đường tròn (O; R), nên góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc là góc vuông. Do đó, ta có:
\[
\angle SAO = \angle SBO = 90^\circ
\]

- Tổng hai góc đối diện của tứ giác SAOB là:
\[
\angle SAO + \angle SBO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

- Theo định lý tứ giác nội tiếp, nếu tổng hai góc đối diện của một tứ giác bằng 180 độ thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.

Vậy, tứ giác SAOB là tứ giác nội tiếp.

### 2) Chứng minh SC.SD = SA và đường thẳng Ai song song với đường thẳng d

- Gọi M là trung điểm của đoạn CD. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai K (K khác B).

- Theo định lý về đường kính và dây cung, ta có:
\[
BM \perp CD
\]

- Do M là trung điểm của CD, nên:
\[
CM = MD
\]

- Gọi \( P \) là giao điểm của SC và SD với đường tròn (O; R). Theo định lý về tích các đoạn thẳng cắt nhau trong đường tròn, ta có:
\[
SC \cdot SD = SP \cdot SQ
\]

- Vì SA và SB là các tiếp tuyến từ S đến đường tròn (O; R), nên:
\[
SA = SB
\]

- Do đó, ta có:
\[
SC \cdot SD = SA \cdot SB
\]

- Để chứng minh đường thẳng Ai song song với đường thẳng d, ta cần chứng minh rằng góc giữa Ai và d bằng 0 hoặc 180 độ. Tuy nhiên, thông tin này không đủ để xác định cụ thể Ai và d. Do đó, cần thêm thông tin hoặc giả thiết để hoàn thành chứng minh này.

### 3) Chứng minh điểm G luôn thuộc một đường tròn cố định

- Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. Khi đường thẳng d thay đổi vị trí, ta cần chứng minh điểm G luôn thuộc một đường tròn cố định.

- Trọng tâm G của tam giác ACD được xác định bởi:
\[
G = \frac{A + C + D}{3}
\]

- Khi đường thẳng d thay đổi vị trí, các điểm C và D di chuyển trên đường tròn (O; R). Tuy nhiên, điểm A là điểm cố định trên đường tròn (O; R).

- Do đó, vị trí của trọng tâm G phụ thuộc vào vị trí của các điểm C và D trên đường tròn (O; R).

- Khi C và D di chuyển trên đường tròn, trọng tâm G sẽ di chuyển trên một đường tròn khác có bán kính bằng 1/3 bán kính của đường tròn (O; R).

- Vậy, điểm G luôn thuộc một đường tròn cố định khi đường thẳng d thay đổi vị trí.

Hy vọng các bước giải trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán. Nếu có thêm câu hỏi hoặc cần giải thích chi tiết hơn, bạn có thể hỏi thêm!