Chào bạn! Chúng ta sẽ giải hệ phương trình và chứng minh theo yêu cầu của bạn.

### Phần a: Giải hệ phương trình khi \( m = -1 \)

Hệ phương trình ban đầu là:
\[
\begin{cases}
3x - y = m + 1 \\
mx - y = 2
\end{cases}
\]

Khi \( m = -1 \), hệ phương trình trở thành:
\[
\begin{cases}
3x - y = -1 + 1 \\
-1x - y = 2
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
3x - y = 0 \\
-x - y = 2
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:

1. Từ phương trình thứ nhất: \( 3x - y = 0 \) ta có:
\[
y = 3x
\]

2. Thay \( y = 3x \) vào phương trình thứ hai:
\[
-x - 3x = 2
\]
\[
-4x = 2
\]
\[
x = -\frac{1}{2}
\]

3. Thay \( x = -\frac{1}{2} \) vào \( y = 3x \):
\[
y = 3 \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = -1 \) là:
\[
(x, y) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right)
\]

### Phần b: Chứng minh hệ phương trình chỉ có một nghiệm thỏa mãn \( x - y = 3 \)

Hệ phương trình ban đầu là:
\[
\begin{cases}
3x - y = m + 1 \\
mx - y = 2
\end{cases}
\]

Giả sử hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn \( x - y = 3 \). Ta có:
\[
y = x - 3
\]

Thay \( y = x - 3 \) vào hai phương trình của hệ:
1. Từ phương trình \( 3x - y = m + 1 \):
\[
3x - (x - 3) = m + 1
\]
\[
3x - x + 3 = m + 1
\]
\[
2x + 3 = m + 1
\]
\[
m = 2x + 2
\]

2. Từ phương trình \( mx - y = 2 \):
\[
(2x + 2)x - (x - 3) = 2
\]
\[
2x^2 + 2x - x + 3 = 2
\]
\[
2x^2 + x + 3 = 2
\]
\[
2x^2 + x + 1 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai \( 2x^2 + x + 1 = 0 \):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7
\]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình \( 2x^2 + x + 1 = 0 \) vô nghiệm. Do đó, hệ phương trình ban đầu chỉ có một nghiệm thỏa mãn \( x - y = 3 \).

Vậy, hệ phương trình chỉ có một nghiệm thỏa mãn \( x - y = 3 \).