Cho tam giác ABC cân tại A với góc ở đáy bằng \( \alpha \) và \( \alpha < 90^\circ \). Vẽ các đường cao AH và BK. Biết BK = h, tính AH.

Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác cân ABC với góc ở đáy bằng \( \alpha \), các đường cao từ đỉnh A và từ đỉnh B sẽ chia tam giác thành các tam giác vuông.

1. **Xét tam giác vuông ABK:**
- Tam giác ABK vuông tại K.
- BK là đường cao từ B xuống AC, nên BK = h.
- Góc \( \angle BAK = \alpha \).

2. **Sử dụng định nghĩa của sin trong tam giác vuông:**
\[
\sin(\alpha) = \frac{BK}{AB}
\]
\[
\sin(\alpha) = \frac{h}{AB}
\]
\[
AB = \frac{h}{\sin(\alpha)}
\]

3. **Xét tam giác vuông AHC:**
- Tam giác AHC vuông tại H.
- AH là đường cao từ A xuống BC.
- Góc \( \angle HAC = \alpha \).

4. **Sử dụng định nghĩa của cos trong tam giác vuông:**
\[
\cos(\alpha) = \frac{AH}{AC}
\]
\[
\cos(\alpha) = \frac{AH}{AB}
\]
\[
AH = AB \cdot \cos(\alpha)
\]

5. **Thay giá trị của AB từ bước 2 vào:**
\[
AH = \left( \frac{h}{\sin(\alpha)} \right) \cdot \cos(\alpha)
\]
\[
AH = \frac{h \cdot \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}
\]

6. **Sử dụng công thức của cotang:**
\[
\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}
\]
\[
AH = h \cdot \cot(\alpha)
\]

Vậy, độ dài của đường cao AH là:
\[
AH = h \cdot \cot(\alpha)
\]