Để chứng minh đẳng thức \( AD \cdot BE \cdot CF = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C \) trong tam giác nhọn \( ABC \) với các đường cao \( AD, BE, CF \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và các công thức lượng giác.

1. **Tính các đường cao**:
- Đường cao \( AD \) từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \) có độ dài \( AD = BC \cdot \sin A \).
- Đường cao \( BE \) từ đỉnh \( B \) xuống cạnh \( CA \) có độ dài \( BE = CA \cdot \sin B \).
- Đường cao \( CF \) từ đỉnh \( C \) xuống cạnh \( AB \) có độ dài \( CF = AB \cdot \sin C \).

2. **Nhân các đường cao**:
\[
AD \cdot BE \cdot CF = (BC \cdot \sin A) \cdot (CA \cdot \sin B) \cdot (AB \cdot \sin C)
\]

3. **Biến đổi biểu thức**:
\[
AD \cdot BE \cdot CF = (BC \cdot CA \cdot AB) \cdot (\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C)
\]

4. **Kết luận**:
\[
AD \cdot BE \cdot CF = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
AD \cdot BE \cdot CF = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C
\]