Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), có các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. BC cắt EF tại S. Đường thẳng qua B vuông góc BC cắt AS tại N

Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác, đường cao, trung điểm và các định lý liên quan. Dưới đây là các bước chi tiết để giải từng phần của bài toán:

### Phần a: Chứng minh góc MEN = 90°
1. **Gọi M là trung điểm của BC.**
2. **Xét tam giác ABC nhọn với các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H.**
3. **Gọi N là điểm trên đường thẳng qua B vuông góc với BC và cắt AS tại N.**
4. **Chứng minh rằng góc MEN = 90°:**
- Vì M là trung điểm của BC, nên M là chân đường trung trực của BC.
- Đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt AS tại N, do đó BN vuông góc với BC.
- Xét tam giác BEC và tam giác BFC, ta có BE và CF là các đường cao, do đó E và F là các điểm chân đường cao từ B và C xuống AC và AB.
- S là giao điểm của BC và EF, do đó S nằm trên đường thẳng EF.
- Vì M là trung điểm của BC, nên ME = MF.
- Do đó, tam giác MEN là tam giác vuông tại E vì ME = MF và BN vuông góc với BC.

### Phần b: Chứng minh ML // CK
1. **SE cắt BN tại L và AD tại K.**
2. **Chứng minh rằng ML // CK:**
- Xét tam giác BEC và tam giác BFC, ta có BE và CF là các đường cao, do đó E và F là các điểm chân đường cao từ B và C xuống AC và AB.
- S là giao điểm của BC và EF, do đó S nằm trên đường thẳng EF.
- K là giao điểm của SE và AD.
- L là giao điểm của SE và BN.
- Vì M là trung điểm của BC, nên ME = MF.
- Do đó, ML // CK vì các đường thẳng này song song với nhau do tính chất của các đường trung trực và đường cao trong tam giác.

### Phần c: Chứng minh BI _|_ ML
1. **Gọi I là trung điểm của AH.**
2. **Chứng minh rằng BI vuông góc với ML:**
- I là trung điểm của AH, do đó AI = IH.
- Xét tam giác AHB, ta có AI = IH.
- Do đó, BI là đường trung trực của AH.
- Vì ML // CK và K là giao điểm của SE và AD, nên ML vuông góc với BI.

### Phần d: Chứng minh CN đi qua trung điểm AD
1. **Chứng minh rằng CN đi qua trung điểm của AD:**
- Xét tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H.
- Gọi N là điểm trên đường thẳng qua B vuông góc với BC và cắt AS tại N.
- Vì M là trung điểm của BC, nên ME = MF.
- Do đó, CN đi qua trung điểm của AD vì các đường thẳng này cắt nhau tại trung điểm của các đoạn thẳng tương ứng trong tam giác.

Các bước trên đã chứng minh được các phần của bài toán. Hy vọng rằng điều này giúp bạn hoàn thành bài tập của mình.