Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

**Phần 1: Chứng minh △NQP ∽ △ EQN và QN² = QP * QE**

1. Chứng minh △NQP ∽ △ EQN:

- Xét hai tam giác △NQP và △EQN:
- Góc NQP và góc EQN đều là góc vuông (do đường thẳng qua N vuông góc với NQ).
- Góc QNP là góc chung của hai tam giác.

Do đó, hai tam giác △NQP và △EQN có hai góc tương ứng bằng nhau nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

2. Chứng minh QN² = QP * QE:

- Từ sự đồng dạng của hai tam giác △NQP và △EQN, ta có:
\[
\frac{QN}{QP} = \frac{QE}{QN}
\]
- Nhân chéo lên, ta được:
\[
QN^2 = QP \cdot QE
\]

**Phần 2: Tính QN, PE biết MN = 4cm; NP = 3cm**

- Vì MNPQ là hình chữ nhật, nên:
\[
QN = MN = 4 \text{ cm}
\]
\[
QP = NP = 3 \text{ cm}
\]

- Từ phần 1, ta có:
\[
QN^2 = QP \cdot QE
\]
\[
4^2 = 3 \cdot QE
\]
\[
16 = 3 \cdot QE
\]
\[
QE = \frac{16}{3} \text{ cm}
\]

- Để tính PE, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông QEP:
\[
PE^2 = QE^2 - QP^2
\]
\[
PE^2 = \left(\frac{16}{3}\right)^2 - 3^2
\]
\[
PE^2 = \frac{256}{9} - 9
\]
\[
PE^2 = \frac{256}{9} - \frac{81}{9}
\]
\[
PE^2 = \frac{175}{9}
\]
\[
PE = \frac{\sqrt{175}}{3} \text{ cm}
\]

**Phần 3: Vẽ PF vuông góc với NE tại F. Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Nối OE cắt PF tại I và cắt NP tại K.**

a. Chứng minh I là trung điểm của PF:

- Do PF vuông góc với NE tại F, nên tam giác PEF là tam giác vuông tại F.
- O là giao điểm của MP và NQ, do đó O là trung điểm của cả hai đường chéo của hình chữ nhật MNPQ.
- OE là đường trung tuyến của tam giác vuông PEF, do đó I là trung điểm của PF.

b. Chứng minh Q, K, F thẳng hàng:

- K là giao điểm của OE và NP.
- Vì OE là đường trung tuyến của tam giác vuông PEF, nên OE đi qua trung điểm của PF.
- Do đó, K nằm trên đường thẳng nối Q và F, tức là Q, K, F thẳng hàng.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành các phần của bài toán.