Để chứng minh tứ giác \( BDFE \) là hình bình hành, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

**Bước a: Chứng minh \( BDFE \) là hình bình hành**
1. Ta có \( D \) và \( E \) lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \) và \( AB \), do đó:
\[
BD = DC \quad \text{và} \quad AE = EB
\]

2. Gọi \( O \) là giao điểm của \( AD \) và \( EF \). Theo định lý trung điểm, \( EF \) sẽ song song với \( AB \) và bằng nửa độ dài của \( AB \):
\[
EF \parallel AB \quad \text{và} \quad EF = \frac{1}{2}AB
\]

3. Tương tự, \( BF \) là trung tuyến của tam giác \( ABC \) và \( DE \) cũng parallel với \( AC \) và bằng nửa độ dài của \( AC \), dẫn đến:
\[
DE \parallel AC \quad \text{và} \quad DE = \frac{1}{2}AC
\]

**Kết luận:**
Bởi vì \( BD = DC \) và \( AE = EB \), cùng với việc \( EF \parallel BD \) và \( DE \parallel AE \), ta có \( BDFE \) là hình bình hành.

**Bước b: Chứng minh \( OE = OF \)**
1. Do \( O \) là giao điểm của \( AD \) và \( EF \), và điều này tạo ra tỉ lệ giống nhau giữa các đoạn trên \( AD \) nhờ vào định lý trung bình.

2. Từ đây, có thể suy ra rằng \( OE = OF \) bởi vì các đoạn này được chia đều bởi điểm \( O \).

**Bước c: Chứng minh \( \triangle ABC \) đồng dạng với \( \triangle DFE \)**
1. Đường cao từ \( D \) đến \( EF \) trong \( \triangle ABC \) sẽ song song với \( EF \) trong \( \triangle DFE \).

2. Suy ra rằng \( \triangle ABC \sim \triangle DFE \).

**Bước d: Sử dụng đoạn thẳng cắt nhau để kết thúc một cách tổng quát**
1. Gọi \( M \) là giao điểm của \( EB \) với \( AD \), ta có:
\[
\frac{BE}{BD} + \frac{BD}{BN} = 1
\]

Điều này chứng tỏ mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tứ giác ở trên.

Như vậy, ta có thể kết luận rằng tứ giác \( BDFE \) là hình bình hành.