Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 1 \), ta thực hiện các bước sau:

### 1. Tìm tập xác định
Hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 1 \) là một đa thức bậc ba, do đó tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \).

### 2. Tính đạo hàm và tìm các điểm cực trị
Tính đạo hàm của hàm số:
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 + 1) = -3x^2 + 6x \]

Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị:
\[ -3x^2 + 6x = 0 \]
\[ -3x(x - 2) = 0 \]
\[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \]

### 3. Xét dấu đạo hàm để tìm khoảng đồng biến và nghịch biến
Xét dấu của \( y' \):
- Khi \( x < 0 \): \( y' = -3x(x - 2) > 0 \) (vì \( x < 0 \) và \( x - 2 < 0 \))
- Khi \( 0 < x < 2 \): \( y' = -3x(x - 2) < 0 \) (vì \( x > 0 \) và \( x - 2 < 0 \))
- Khi \( x > 2 \): \( y' = -3x(x - 2) > 0 \) (vì \( x > 0 \) và \( x - 2 > 0 \))

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 0) \) và \( (2, +\infty) \), nghịch biến trên khoảng \( (0, 2) \).

### 4. Tính giá trị tại các điểm cực trị
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị:
- Tại \( x = 0 \):
\[ y(0) = -0^3 + 3 \cdot 0^2 + 1 = 1 \]
Điểm cực đại: \( (0, 1) \)

- Tại \( x = 2 \):
\[ y(2) = -2^3 + 3 \cdot 2^2 + 1 = -8 + 12 + 1 = 5 \]
Điểm cực tiểu: \( (2, 5) \)

### 5. Tìm giới hạn tại vô cực
Tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \):
\[ \lim_{x \to \pm\infty} (-x^3 + 3x^2 + 1) = -\infty \]

### 6. Vẽ đồ thị
Từ các thông tin trên, ta có thể vẽ đồ thị của hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 1 \):
- Đồ thị đi qua các điểm cực trị \( (0, 1) \) và \( (2, 5) \).
- Đồ thị đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 0) \) và \( (2, +\infty) \).
- Đồ thị nghịch biến trên khoảng \( (0, 2) \).
- Khi \( x \to \pm\infty \), \( y \to -\infty \).

### 7. Đồ thị minh họa
Dưới đây là một phác thảo của đồ thị hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 1 \):

```
y
^
|
| * (2, 5)
| /
| /
| /
| /
| /
| * (0, 1)
| /
|/
+--------------------> x
```

Đồ thị có dạng một đường cong đi qua các điểm cực trị và có các khoảng đồng biến và nghịch biến như đã phân tích.