Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x^2 + y^2 + m^2 \) với các điều kiện \( x + 2y - m = 4 \) và \( 2x + y + m = 11 \), ta có thể làm như sau:

1. Giải hệ phương trình để tìm \( x, y, m \):

\[
\begin{cases}
x + 2y - m = 4 \\
2x + y + m = 11
\end{cases}
\]

Từ phương trình thứ nhất, ta có:

\[ m = x + 2y - 4 \]

Thay \( m \) vào phương trình thứ hai:

\[ 2x + y + (x + 2y - 4) = 11 \]

\[ 3x + 3y - 4 = 11 \]

\[ 3x + 3y = 15 \]

\[ x + y = 5 \]

Ta có \( y = 5 - x \).

Thay \( y = 5 - x \) vào phương trình \( m = x + 2y - 4 \):

\[ m = x + 2(5 - x) - 4 \]

\[ m = x + 10 - 2x - 4 \]

\[ m = 6 - x \]

Vậy ta có \( x, y, m \) là:

\[ x = x \]
\[ y = 5 - x \]
\[ m = 6 - x \]

2. Thay các giá trị này vào biểu thức \( P \):

\[ P = x^2 + (5 - x)^2 + (6 - x)^2 \]

\[ P = x^2 + (25 - 10x + x^2) + (36 - 12x + x^2) \]

\[ P = x^2 + 25 - 10x + x^2 + 36 - 12x + x^2 \]

\[ P = 3x^2 - 22x + 61 \]

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \):

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai \( P = 3x^2 - 22x + 61 \), ta sử dụng công thức:

\[ x = -\frac{b}{2a} \]

Với \( a = 3 \) và \( b = -22 \):

\[ x = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \]

Thay \( x = \frac{11}{3} \) vào biểu thức \( P \):

\[ P = 3\left(\frac{11}{3}\right)^2 - 22\left(\frac{11}{3}\right) + 61 \]

\[ P = 3 \cdot \frac{121}{9} - \frac{242}{3} + 61 \]

\[ P = \frac{363}{9} - \frac{726}{9} + \frac{549}{9} \]

\[ P = \frac{363 - 726 + 549}{9} \]

\[ P = \frac{186}{9} \]

\[ P = 20.67 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( 20.67 \).