Để chứng minh bài toán này, ta bắt đầu từ giả thiết \( x^3 = y^3 = z^3 \).

Vì \( x, y, z \in \mathbb{Z}^+ \) và \( x < y < z \), ta có thể suy ra rằng \( x, y, z \) là các số nguyên dương khác nhau. Tuy nhiên, từ giả thiết \( x^3 = y^3 = z^3 \), điều này chỉ có thể xảy ra nếu \( x = y = z \).

Nhưng điều này mâu thuẫn với điều kiện \( x < y < z \). Do đó, không tồn tại các số nguyên dương \( x, y, z \) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \( x < y < z \) và \( x^3 = y^3 = z^3 \).

Vậy bài toán không có nghiệm thỏa mãn các điều kiện đã cho.