Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân, đường phân giác, và các đường vuông góc.

### Phần a: Chứng minh tam giác MHE = tam giác MHF

Tam giác MEF cân tại M, nên ME = MF.

Gọi H là giao điểm của đường phân giác của góc EMF với cạnh EF. Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có:
\[ \frac{EH}{HF} = \frac{ME}{MF} \]

Vì ME = MF, nên:
\[ \frac{EH}{HF} = 1 \]
Do đó, EH = HF.

Xét hai tam giác MHE và MHF:
- ME = MF (do tam giác MEF cân tại M)
- EH = HF (do H nằm trên đường phân giác của góc EMF)
- MH là cạnh chung

Vậy, theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c), ta có:
\[ \triangle MHE = \triangle MHF \]

### Phần b: Chứng minh tam giác HKQ cân

Kẻ HK vuông góc với ME tại K, kẻ HQ vuông góc với MF tại Q.

Xét hai tam giác vuông HKM và HQM:
- HK = HQ (do H là giao điểm của đường phân giác và ME = MF)
- Góc HKM = Góc HQM = 90 độ
- HM là cạnh chung

Vậy, theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c), ta có:
\[ \triangle HKM = \triangle HQM \]

Do đó, HK = HQ và tam giác HKQ cân tại H.

### Phần c: Chứng minh MH vuông góc NP

Tia KH cắt tia MF tại P, tia QH cắt tia ME tại N.

Xét tam giác MHE và MHF đã chứng minh bằng nhau ở phần a, ta có:
\[ \angle MHE = \angle MHF \]

Do đó, H là trung điểm của EF và MH là đường trung trực của EF.

Xét tam giác HKQ cân tại H, ta có:
- HK = HQ
- Góc HKM = Góc HQM = 90 độ

Vậy, HK và HQ là các đường cao của tam giác HKQ, do đó HKQ là tam giác vuông cân tại H.

Do đó, NP là đường trung trực của HKQ, và vì MH là đường trung trực của EF, nên MH vuông góc với NP tại H.

Vậy, MH vuông góc với NP.