### Bài 6: Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 777...7 chia hết cho 310

Để chứng minh rằng tồn tại số có dạng \( 777\ldots7 \) chia hết cho 310, ta cần tìm một số \( n \) sao cho \( 777\ldots7 \) (với \( n \) chữ số 7) chia hết cho 310.

Số có \( n \) chữ số 7 có thể được viết dưới dạng:
\[ N = 7 \times \frac{10^n - 1}{9} \]

Ta cần chứng minh rằng tồn tại \( n \) sao cho \( N \) chia hết cho 310, tức là:
\[ 7 \times \frac{10^n - 1}{9} \equiv 0 \pmod{310} \]

Điều này tương đương với:
\[ \frac{10^n - 1}{9} \equiv 0 \pmod{\frac{310}{7}} \]

Ta có:
\[ \frac{310}{7} = 44.2857 \]

Nhưng vì \( 310 = 2 \times 5 \times 31 \), ta cần \( 10^n - 1 \) chia hết cho \( 9 \times 310 = 2790 \).

Do đó, ta cần tìm \( n \) sao cho:
\[ 10^n \equiv 1 \pmod{2790} \]

Sử dụng định lý Euler, ta có:
\[ \phi(2790) = \phi(2) \times \phi(3) \times \phi(5) \times \phi(31) = 1 \times 2 \times 4 \times 30 = 240 \]

Theo định lý Euler, ta có:
\[ 10^{240} \equiv 1 \pmod{2790} \]

Do đó, \( n = 240 \) là một giá trị thỏa mãn. Vậy, số có 240 chữ số 7 chia hết cho 310.

### Bài 7: Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 232323...23 chia hết cho 112024

Số có \( n \) cặp 23 có thể được viết dưới dạng:
\[ N = 23 \times \frac{10^{2n} - 1}{99} \]

Ta cần chứng minh rằng tồn tại \( n \) sao cho \( N \) chia hết cho 112024, tức là:
\[ 23 \times \frac{10^{2n} - 1}{99} \equiv 0 \pmod{112024} \]

Điều này tương đương với:
\[ \frac{10^{2n} - 1}{99} \equiv 0 \pmod{\frac{112024}{23}} \]

Ta có:
\[ \frac{112024}{23} = 4871.478 \]

Nhưng vì \( 112024 = 2^3 \times 14003 \), ta cần \( 10^{2n} - 1 \) chia hết cho \( 99 \times 112024 = 11092376 \).

Do đó, ta cần tìm \( n \) sao cho:
\[ 10^{2n} \equiv 1 \pmod{11092376} \]

Sử dụng định lý Euler, ta có:
\[ \phi(11092376) = \phi(2^3) \times \phi(3^2) \times \phi(7) \times \phi(11) \times \phi(13) \times \phi(37) = 4 \times 6 \times 6 \times 10 \times 12 \times 36 = 62208 \]

Theo định lý Euler, ta có:
\[ 10^{62208} \equiv 1 \pmod{11092376} \]

Do đó, \( n = 31104 \) là một giá trị thỏa mãn. Vậy, số có 31104 cặp 23 chia hết cho 112024.