Để chứng minh các hệ thức trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản.

**a) Chứng minh: \(\tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha\)**

Ta có:
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]
Do đó:
\[
\tan^2 \alpha = \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right)^2 = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}
\]

Thay vào phương trình cần chứng minh:
\[
\tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha
\]

Ta quy đồng mẫu số:
\[
\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha}
\]

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\):
\[
\frac{\sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \left( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} \right)^2 = \tan^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha
\]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[
\tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha
\]

**b) Chứng minh: \(\frac{1 - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2} = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2\)**

Ta có:
\[
(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha
\]
và
\[
(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha
\]

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), ta có:
\[
(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha
\]
và
\[
(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha
\]

Thay vào phương trình cần chứng minh:
\[
\frac{1 - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2} = \frac{1 - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha}
\]

Ta có:
\[
1 - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha)(1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha)
\]

Do đó:
\[
\frac{1 - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha} = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2
\]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[
\frac{1 - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2} = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2
\]