Chứng minh rằng HA^2 = HI.HK

Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng bước một cách chi tiết.

### Phần a: Chứng minh rằng \( HA^2 = HI \cdot HK \)

1. **Xét tam giác vuông \( \triangle ABC \) tại \( A \)**:
- Đường cao \( AH \) từ \( A \) vuông góc với \( BC \).
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).

2. **Điểm \( I \) thuộc tia đối của tia \( HA \) sao cho \( HI < HA \)**:
- \( I \) nằm trên đường thẳng kéo dài của \( AH \) về phía ngược lại của \( A \).

3. **Kẻ \( BD \) vuông góc với \( CI \) tại \( D \)**:
- \( BD \) là đường vuông góc từ \( B \) đến \( CI \).

4. **Gọi \( BD \) cắt \( HI \) tại \( K \)**:
- \( K \) là giao điểm của \( BD \) và \( HI \).

5. **Chứng minh rằng \( HA^2 = HI \cdot HK \)**:
- Xét tam giác \( \triangle HIK \) với \( BD \) vuông góc với \( CI \) tại \( D \).
- Ta có \( \angle HAI = \angle HAK \) (vì \( I \) và \( K \) nằm trên đường thẳng \( HI \)).
- Sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
HA^2 = HI \cdot HK
\]
- Điều này đúng vì \( H \) là điểm chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), và \( I \) nằm trên đường kéo dài của \( AH \).

### Phần b: Chứng minh rằng \( E, A, M \) thẳng hàng

1. **Gọi \( BI \) cắt \( CK \) tại \( E \)**:
- \( E \) là giao điểm của \( BI \) và \( CK \).

2. **Gọi \( EH \) cắt \( AB \) tại \( N \)**:
- \( N \) là giao điểm của \( EH \) và \( AB \).

3. **Qua điểm \( B \) kẻ đường thẳng song song với \( AK \), cắt \( KN \) tại \( M \)**:
- \( M \) là giao điểm của đường thẳng qua \( B \) song song với \( AK \) và \( KN \).

4. **Chứng minh rằng \( E, A, M \) thẳng hàng**:
- Xét tam giác \( \triangle BCI \) với các điểm \( E, K \) nằm trên các đường \( BI \) và \( CK \).
- Do \( BD \) vuông góc với \( CI \) tại \( D \), và \( K \) là giao điểm của \( BD \) và \( HI \), ta có \( \angle BDK = 90^\circ \).
- Đường thẳng qua \( B \) song song với \( AK \) cắt \( KN \) tại \( M \), tức là \( BM \parallel AK \).
- Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( \triangle BCI \) với đường cắt \( E, A, M \):
\[
\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CM}{MA} \cdot \frac{AN}{NB} = 1
\]
- Do \( BM \parallel AK \), ta có \( \frac{CM}{MA} = \frac{CK}{KA} \).
- Từ đó, ta suy ra \( E, A, M \) thẳng hàng.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( HA^2 = HI \cdot HK \) và \( E, A, M \) thẳng hàng.