Cho tứ giác ABCD có AB = 9, BC = 12, CD = 13, DA = 14 và AC = 15. Gọi P, Q là hình chiếu vuông góc của B,D trên AC. Tính PQ

Để tính độ dài đoạn PQ, ta cần sử dụng một số tính chất hình học của tứ giác và tam giác.

1. **Tính diện tích tam giác ABC và tam giác ACD:**

- Diện tích tam giác ABC:
\[
S_{ABC} = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-AC)}
\]
với \( s = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{9 + 12 + 15}{2} = 18 \).
\[
S_{ABC} = \sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 3} = \sqrt{2916} = 54
\]

- Diện tích tam giác ACD:
\[
S_{ACD} = \sqrt{s'(s'-AC)(s'-CD)(s'-DA)}
\]
với \( s' = \frac{AC + CD + DA}{2} = \frac{15 + 13 + 14}{2} = 21 \).
\[
S_{ACD} = \sqrt{21(21-15)(21-13)(21-14)} = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = \sqrt{7056} = 84
\]

2. **Tính khoảng cách từ B và D đến AC:**

- Khoảng cách từ B đến AC (đoạn BP):
\[
BP = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{AC} = \frac{2 \cdot 54}{15} = \frac{108}{15} = 7.2
\]

- Khoảng cách từ D đến AC (đoạn DQ):
\[
DQ = \frac{2 \cdot S_{ACD}}{AC} = \frac{2 \cdot 84}{15} = \frac{168}{15} = 11.2
\]

3. **Tính độ dài đoạn PQ:**
\[
PQ = |BP - DQ| = |7.2 - 11.2| = 4
\]

Vậy độ dài đoạn PQ là 4.