Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học phẳng và tọa độ.

1. **Tính độ dài đoạn thẳng AB:**

Giả sử điểm \( O \) có tọa độ \( (0, 0) \).

- Điểm \( M \) nằm trên tia \( Ox \) và \( OM = 6 \) cm, do đó tọa độ của \( M \) là \( (6, 0) \).
- Điểm \( N \) nằm trên tia \( Oy \) và \( ON = 4 \) cm, do đó tọa độ của \( N \) là \( (0, 4) \).

Gọi \( A \) là trung điểm của đoạn \( OM \) và \( B \) là trung điểm của đoạn \( ON \).

- Tọa độ của \( A \) là trung điểm của \( O \) và \( M \), do đó:
\[
A \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (3, 0)
\]

- Tọa độ của \( B \) là trung điểm của \( O \) và \( N \), do đó:
\[
B \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2} \right) = (0, 2)
\]

Độ dài đoạn thẳng \( AB \) được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ:
\[
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
\]

Thay tọa độ của \( A \) và \( B \) vào công thức:
\[
AB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \, \text{cm}
\]

2. **Xét điểm \( O \) có là trung điểm của đoạn \( AB \) hay không:**

Điểm \( O \) là trung điểm của đoạn \( AB \) nếu tọa độ của \( O \) bằng trung bình cộng tọa độ của \( A \) và \( B \).

Tọa độ trung điểm của \( A \) và \( B \) là:
\[
\left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{3 + 0}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 1 \right)
\]

Tọa độ này không trùng với tọa độ của \( O \) là \( (0, 0) \). Do đó, \( O \) không phải là trung điểm của đoạn \( AB \).

**Kết luận:**
a) Độ dài đoạn thẳng \( AB \) là \( \sqrt{13} \) cm.
b) Điểm \( O \) không phải là trung điểm của đoạn \( AB \) vì tọa độ của trung điểm đoạn \( AB \) không trùng với tọa độ của điểm \( O \).