Để tính độ dài đoạn thẳng \( BH \) và \( HC \) trong tam giác vuông \( ABC \) vuông tại \( A \) với đường cao \( AH \), chúng ta có thể sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông. Định lý này cho biết:

\[ AH^2 = BH \cdot HC \]

Đầu tiên, ta cần tính độ dài cạnh \( BC \) bằng định lý Pythagore:

\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + 7.5^2} = \sqrt{16 + 56.25} = \sqrt{72.25} = 8.5 \, \text{cm} \]

Tiếp theo, ta sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:

\[ AH^2 = BH \cdot HC \]

Vì \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến \( BC \), ta có thể tính \( AH \) bằng công thức:

\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{4 \cdot 7.5}{8.5} = \frac{30}{8.5} \approx 3.53 \, \text{cm} \]

Bây giờ, ta có thể tính \( BH \) và \( HC \) bằng cách sử dụng các công thức:

\[ BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{4^2}{8.5} = \frac{16}{8.5} \approx 1.88 \, \text{cm} \]

\[ HC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{7.5^2}{8.5} = \frac{56.25}{8.5} \approx 6.62 \, \text{cm} \]

Vậy độ dài đoạn thẳng \( BH \) là khoảng \( 1.88 \, \text{cm} \) và độ dài đoạn thẳng \( HC \) là khoảng \( 6.62 \, \text{cm} \).