Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), biểu thức \( 9 \cdot 5^{2n} + 6 \cdot 2^{2n} + 1 + 42 \) chia hết cho 21, ta sẽ phân tích biểu thức này theo modulo 3 và modulo 7.

### Phân tích theo modulo 3:
1. \( 9 \equiv 0 \pmod{3} \)
2. \( 5 \equiv 2 \pmod{3} \) nên \( 5^{2n} \equiv 2^{2n} \pmod{3} \)
3. \( 2^{2n} \equiv 1 \pmod{3} \) vì \( 2^2 \equiv 1 \pmod{3} \)
=> \( 5^{2n} \equiv 1 \pmod{3} \)
4. \( 9 \cdot 5^{2n} \equiv 0 \cdot 1 \equiv 0 \pmod{3} \)
5. \( 6 \equiv 0 \pmod{3} \)
6. \( 2^{2n} \equiv 1 \pmod{3} \)
=> \( 6 \cdot 2^{2n} \equiv 0 \cdot 1 \equiv 0 \pmod{3} \)
7. \( 1 \equiv 1 \pmod{3} \)
8. \( 42 \equiv 0 \pmod{3} \)

Tổng hợp lại:
\[ 9 \cdot 5^{2n} + 6 \cdot 2^{2n} + 1 + 42 \equiv 0 + 0 + 1 + 0 \equiv 1 \pmod{3} \]

### Phân tích theo modulo 7:
1. \( 9 \equiv 2 \pmod{7} \)
2. \( 5 \equiv 5 \pmod{7} \)
=> \( 5^{2n} \equiv 5^{2n} \pmod{7} \)
3. \( 2 \equiv 2 \pmod{7} \)
=> \( 2^{2n} \equiv 2^{2n} \pmod{7} \)
4. \( 9 \cdot 5^{2n} \equiv 2 \cdot 5^{2n} \pmod{7} \)
5. \( 6 \equiv -1 \pmod{7} \)
=> \( 6 \cdot 2^{2n} \equiv -1 \cdot 2^{2n} \equiv -2^{2n} \pmod{7} \)
6. \( 1 \equiv 1 \pmod{7} \)
7. \( 42 \equiv 0 \pmod{7} \)

Tổng hợp lại:
\[ 9 \cdot 5^{2n} + 6 \cdot 2^{2n} + 1 + 42 \equiv 2 \cdot 5^{2n} - 2^{2n} + 1 + 0 \pmod{7} \]

Ta cần kiểm tra \( 2 \cdot 5^{2n} - 2^{2n} + 1 \) có chia hết cho 7 hay không.

#### Với \( n = 0 \):
\[ 2 \cdot 5^{0} - 2^{0} + 1 = 2 \cdot 1 - 1 + 1 = 2 \]
\[ 2 \not\equiv 0 \pmod{7} \]

#### Với \( n = 1 \):
\[ 2 \cdot 5^{2} - 2^{2} + 1 = 2 \cdot 25 - 4 + 1 = 50 - 4 + 1 = 47 \]
\[ 47 \equiv 5 \pmod{7} \]
\[ 5 \not\equiv 0 \pmod{7} \]

Như vậy, biểu thức \( 9 \cdot 5^{2n} + 6 \cdot 2^{2n} + 1 + 42 \) không chia hết cho 21 với mọi số tự nhiên \( n \).