Để hàm số \( g(x) = f(2x^2 + x + m) \) có 5 điểm cực trị, ta cần tìm điều kiện để hàm số này có 5 điểm cực trị.

Trước hết, ta xét hàm số \( f(x) \) với \( f'(x) = (x-1)(3-x) \). Ta có:
\[ f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x-1)(3-x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \]

Điều này có nghĩa là hàm số \( f(x) \) có 2 điểm cực trị tại \( x = 1 \) và \( x = 3 \).

Tiếp theo, ta xét hàm số \( g(x) = f(2x^2 + x + m) \). Để hàm số \( g(x) \) có cực trị, ta cần:
\[ g'(x) = f'(2x^2 + x + m) \cdot (4x + 1) = 0 \]

Do \( 4x + 1 \neq 0 \) với mọi \( x \), ta có:
\[ f'(2x^2 + x + m) = 0 \]
\[ \Leftrightarrow (2x^2 + x + m - 1)(3 - (2x^2 + x + m)) = 0 \]

Ta cần giải hệ phương trình:
\[ 2x^2 + x + m - 1 = 0 \]
\[ 3 - 2x^2 - x - m = 0 \]

Để hàm số \( g(x) \) có 5 điểm cực trị, phương trình \( f'(2x^2 + x + m) = 0 \) phải có 5 nghiệm phân biệt. Điều này có nghĩa là phương trình:
\[ (2x^2 + x + m - 1)(3 - 2x^2 - x - m) = 0 \]
phải có 5 nghiệm phân biệt.

Ta xét phương trình:
\[ 2x^2 + x + m - 1 = 0 \]
và
\[ 3 - 2x^2 - x - m = 0 \]

Để mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện:
\[ \Delta_1 = b^2 - 4ac > 0 \]
và
\[ \Delta_2 = b^2 - 4ac > 0 \]

Xét phương trình thứ nhất:
\[ 2x^2 + x + m - 1 = 0 \]
\[ \Delta_1 = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m - 1) = 1 - 8(m - 1) = 1 - 8m + 8 = 9 - 8m > 0 \]
\[ \Leftrightarrow 9 > 8m \]
\[ \Leftrightarrow m < \frac{9}{8} \]

Xét phương trình thứ hai:
\[ 3 - 2x^2 - x - m = 0 \]
\[ \Delta_2 = (-1)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (3 - m) = 1 + 8(3 - m) = 1 + 24 - 8m = 25 - 8m > 0 \]
\[ \Leftrightarrow 25 > 8m \]
\[ \Leftrightarrow m < \frac{25}{8} \]

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có:
\[ m < \frac{9}{8} \]

Do \( m \) là số nguyên trong đoạn \((-5; 5)\), các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn là:
\[ m = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 \]

Vậy có 7 giá trị nguyên của \( m \) trong đoạn \((-5; 5)\) để hàm số \( g(x) = f(2x^2 + x + m) \) có 5 điểm cực trị.