Phân tích đa thức thành nhân tử là quá trình biến đổi đa thức thành tích của các đa thức bậc thấp hơn. Dưới đây là cách phân tích các đa thức đã cho:

a) \( x^4 + 4 \)

Để phân tích đa thức này, ta có thể sử dụng phương pháp thêm và bớt để tạo ra một dạng dễ nhận biết hơn:

\[ x^4 + 4 = x^4 + 4 \cdot 1^4 \]

Nhận thấy rằng \( x^4 + 4 \cdot 1^4 \) có thể được viết lại dưới dạng tổng của hai bình phương:

\[ x^4 + 4 = (x^2)^2 + (2)^2 \]

Sử dụng công thức phân tích tổng của hai bình phương:

\[ a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi) \]

Với \( a = x^2 \) và \( b = 2i \):

\[ x^4 + 4 = (x^2 + 2i)(x^2 - 2i) \]

b) \( x^4 - 2x^2 - 2x - 1 \)

Để phân tích đa thức này, ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ hoặc sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử:

Nhóm các hạng tử:

\[ x^4 - 2x^2 - 2x - 1 = (x^4 - 2x^2) - (2x + 1) \]

Nhận thấy rằng không có cách nhóm nào rõ ràng để phân tích đa thức này thành nhân tử đơn giản hơn. Ta có thể sử dụng phương pháp nghiệm hữu tỉ để tìm nghiệm của đa thức:

Sử dụng định lý nghiệm hữu tỉ, các nghiệm có thể là \( \pm 1 \).

Thử nghiệm \( x = 1 \):

\[ 1^4 - 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 - 1 = 1 - 2 - 2 - 1 = -4 \neq 0 \]

Thử nghiệm \( x = -1 \):

\[ (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 1 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0 \]

Vậy \( x = -1 \) là một nghiệm. Sử dụng phép chia đa thức để phân tích:

\[ x^4 - 2x^2 - 2x - 1 = (x + 1)(x^3 - x^2 - x - 1) \]

Tiếp tục phân tích \( x^3 - x^2 - x - 1 \):

Thử nghiệm \( x = 1 \):

\[ 1^3 - 1^2 - 1 - 1 = 1 - 1 - 1 - 1 = -2 \neq 0 \]

Thử nghiệm \( x = -1 \):

\[ (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) - 1 = -1 - 1 + 1 - 1 = -2 \neq 0 \]

Không có nghiệm hữu tỉ khác, do đó:

\[ x^4 - 2x^2 - 2x - 1 = (x + 1)(x^3 - x^2 - x - 1) \]

c) \( x^3 - 4x^2 + 12x - 27 \)

Để phân tích đa thức này, ta có thể sử dụng phương pháp nghiệm hữu tỉ hoặc phương pháp nhóm các hạng tử:

Sử dụng định lý nghiệm hữu tỉ, các nghiệm có thể là \( \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27 \).

Thử nghiệm \( x = 3 \):

\[ 3^3 - 4 \cdot 3^2 + 12 \cdot 3 - 27 = 27 - 36 + 36 - 27 = 0 \]

Vậy \( x = 3 \) là một nghiệm. Sử dụng phép chia đa thức để phân tích:

\[ x^3 - 4x^2 + 12x - 27 = (x - 3)(x^2 - x + 9) \]

Vậy kết quả phân tích là:

a) \( x^4 + 4 = (x^2 + 2i)(x^2 - 2i) \)

b) \( x^4 - 2x^2 - 2x - 1 = (x + 1)(x^3 - x^2 - x - 1) \)

c) \( x^3 - 4x^2 + 12x - 27 = (x - 3)(x^2 - x + 9) \)