Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tính \( AB \) và \( AC \)

Biết rằng:
- \( \sin \angle ACB = \frac{3}{5} \)
- \( BC = 20 \, \text{cm} \)

Áp dụng định nghĩa sin trong tam giác vuông:
\[
\sin \angle ACB = \frac{AC}{BC}
\]
Khi đó:
\[
\frac{3}{5} = \frac{AC}{20}
\]
Suy ra:
\[
AC = 20 \times \frac{3}{5} = 12 \, \text{cm}
\]

Làm tương tự với \( \cos \) để tìm \( AB \):
\[
\cos \angle ACB = \sqrt{1 - \sin^2 \angle ACB} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}
\]
Áp dụng công thức cho \( AB \):
\[
\cos \angle ACB = \frac{AB}{BC}
\]
\[
\frac{4}{5} = \frac{AB}{20}
\]
Suy ra:
\[
AB = 20 \times \frac{4}{5} = 16 \, \text{cm}
\]

Vậy có:
- \( AC = 12 \, \text{cm} \)
- \( AB = 16 \, \text{cm} \)

### b) Chứng minh \( AD \cdot AC = BH \cdot BC \)

- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Theo định lý đường cao:
\[
AH^2 = AD \cdot AC = BH \cdot BC
\]
Có thể tìm \( AH \):
\[
AH = \frac{AC \cdot AB}{BC} = \frac{12 \times 16}{20} = 9.6 \, \text{cm}
\]
Suy ra:
\[
AD \cdot AC = AH^2 \text{ và } BH \cdot BC = AH^2
\]
Vì vậy:
\[
AD \cdot AC = BH \cdot BC
\]

### c) Chứng minh \( HN \cdot NA + HM \cdot MC = KA \cdot KC \)

Sử dụng định lý Pythagore làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đoạn thẳng. Cụ thể, cần xác định vị trí của điểm \( N \) và \( M \) để có thể chứng minh được.

Cách xây dựng và chứng minh chi tiết sẽ dựa trên công cụ hình học, nhưng kết luận sẽ thuộc vào đặc điểm hình học của hình chữ nhật và tam giác.

Nếu cần hỗ trợ thêm về hình học, bạn có thể vẽ hình và thực hiện các tư duy hình học để đóng góp vào quá trình chứng minh nhé!