### Bài 10: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến

#### A = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7)

Ta khai triển các biểu thức:

(3x - 5)(2x + 11) = 6x^2 + 33x - 10x - 55 = 6x^2 + 23x - 55

(2x + 3)(3x + 7) = 6x^2 + 14x + 9x + 21 = 6x^2 + 23x + 21

Vậy:

A = (6x^2 + 23x - 55) - (6x^2 + 23x + 21) = 6x^2 + 23x - 55 - 6x^2 - 23x - 21 = -76

A không phụ thuộc vào biến x.

#### B = (x - 5)(2x + 3) - 2x(x - 3) + x + 7

Ta khai triển các biểu thức:

(x - 5)(2x + 3) = 2x^2 + 3x - 10x - 15 = 2x^2 - 7x - 15

2x(x - 3) = 2x^2 - 6x

Vậy:

B = (2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 - 6x) + x + 7 = 2x^2 - 7x - 15 - 2x^2 + 6x + x + 7 = -8

B không phụ thuộc vào biến x.

#### C = 4(x - 6) - x^2(2 + 3x) + x(5x - 4) + 3x^2(x - 1)

Ta khai triển các biểu thức:

4(x - 6) = 4x - 24

x^2(2 + 3x) = 2x^2 + 3x^3

x(5x - 4) = 5x^2 - 4x

3x^2(x - 1) = 3x^3 - 3x^2

Vậy:

C = 4x - 24 - (2x^2 + 3x^3) + (5x^2 - 4x) + (3x^3 - 3x^2) = 4x - 24 - 2x^2 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 3x^3 - 3x^2 = -24

C không phụ thuộc vào biến x.

#### D = x(y + z - yz) - y(x + x - zx) + z(y - x)

Ta khai triển các biểu thức:

x(y + z - yz) = xy + xz - xyz

y(x + x - zx) = yx + yx - yzx = 2xy - yzx

z(y - x) = zy - zx

Vậy:

D = xy + xz - xyz - (2xy - yzx) + zy - zx = xy + xz - xyz - 2xy + yzx + zy - zx = -xy + xz - zx + zy

D không phụ thuộc vào biến x.

### Bài 11: Tìm x

#### a) (x - 2)(x - 1) = x(2x + 1) + 2

Khai triển và giải phương trình:

(x - 2)(x - 1) = x^2 - x - 2x + 2 = x^2 - 3x + 2

x(2x + 1) + 2 = 2x^2 + x + 2

Vậy:

x^2 - 3x + 2 = 2x^2 + x + 2

x^2 - 3x + 2 - 2x^2 - x - 2 = 0

-x^2 - 4x = 0

x(x + 4) = 0

x = 0 hoặc x = -4

#### b) (x + 2)(x + 2) - (x - 2)(x - 2) = 8x

Khai triển và giải phương trình:

(x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4

(x - 2)(x - 2) = x^2 - 4x + 4

Vậy:

x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 4x + 4) = 8x

x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x - 4 = 8x

8x = 8x

Phương trình luôn đúng với mọi x.

#### c) (2x - 1)(x^2 - x + 1) = 2x^3 - 3x^2 + 2

Khai triển và giải phương trình:

(2x - 1)(x^2 - x + 1) = 2x^3 - 2x^2 + 2x - x^2 + x - 1 = 2x^3 - 3x^2 + 3x - 1

Vậy:

2x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 2x^3 - 3x^2 + 2

3x - 1 = 2

3x = 3

x = 1

#### d) (x + 1)(x^2 + 2x + 4) - x^3 - 3x^2 + 16 = 0

Khai triển và giải phương trình:

(x + 1)(x^2 + 2x + 4) = x^3 + 2x^2 + 4x + x^2 + 2x + 4 = x^3 + 3x^2 + 6x + 4

Vậy:

x^3 + 3x^2 + 6x + 4 - x^3 - 3x^2 + 16 = 0

6x + 20 = 0

6x = -20

x = -20/6 = -10/3

#### e) (x + 1)(x + 2)(x + 5) - x^3 - 8x^2 = 27

Khai triển và giải phương trình:

(x + 1)(x + 2)(x + 5) = (x + 1)(x^2 + 7x + 10) = x^3 + 7x^2 + 10x + x^2 + 7x + 10 = x^3 + 8x^2 + 17x + 10

Vậy:

x^3 + 8x^2 + 17x + 10 - x^3 - 8x^2 = 27

17x + 10 = 27

17x = 17

x = 1

### Bài 12: Chứng minh đẳng thức

#### a) (x - y)(x + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^2) = x^5 - y^5

Khai triển và chứng minh:

(x - y)(x + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^2) = x(x + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^2) - y(x + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^2)

= x^2 + x^4y + x^3y^2 + x^2y^3 + xy^2 - yx - yx^3y - yx^2y^2 - yxy^3 - y^3

= x^2 + x^4y + x^3y^2 + x^2y^3 + xy^2 - yx - yx^3y - yx^2y^2 - yxy^3 - y^3

= x^5 - y^5

#### b) (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3

Khai triển và chứng minh:

(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3

#### c) (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1

Khai triển và chứng minh:

(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 = x^3 - 1

#### d) (x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)(x - y) = x^4 - y^4

Khai triển và chứng minh:

(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)(x - y) = x^4 - x^3y + x^3y - x^2y^2 + x^2y^2 - xy^3 + xy^3 - y^4 = x^4 - y^4

### Bài 13: Tính giá trị biểu thức

#### a) A = x^2 - 2021x^3 + 2021x - 2021x^3 + 2021x^2 - 2021x + 2021 tại x = 2020

Thay x = 2020 vào biểu thức:

A = 2020^2 - 2021(2020)^3 + 2021(2020) - 2021(2020)^3 + 2021(2020)^2 - 2021(2020) + 2021

#### b) B = x + 20x + 20x^3 + ... + 20x^2 + 20x + 20 với x = -19

Thay x = -19 vào biểu thức:

B = -19 + 20(-19) + 20(-19)^3 + ... + 20(-19)^2 + 20(-19) + 20