Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính giá trị của biểu thức M

Để tính giá trị của biểu thức \( M \) và sắp xếp các tỉ số lượng giác theo thứ tự tăng dần, ta thực hiện như sau:

### a) Tính giá trị của biểu thức \( M \)

Biểu thức \( M \) được cho như sau:
\[ M = \sin^2 20^\circ + \cos^2 30^\circ - \sin^2 40^\circ - \sin^2 50^\circ + \cos^2 60^\circ + \sin^2 70^\circ \]

Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản:
- \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
- \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\)

Ta có:
- \(\cos^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}\)
- \(\cos^2 60^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)

Thay vào biểu thức \( M \):
\[ M = \sin^2 20^\circ + \frac{3}{4} - \sin^2 40^\circ - \sin^2 50^\circ + \frac{1}{4} + \sin^2 70^\circ \]

Sử dụng các công thức bổ sung:
- \(\sin 70^\circ = \cos 20^\circ\)
- \(\sin 50^\circ = \cos 40^\circ\)

Do đó:
- \(\sin^2 70^\circ = \cos^2 20^\circ = 1 - \sin^2 20^\circ\)
- \(\sin^2 50^\circ = \cos^2 40^\circ = 1 - \sin^2 40^\circ\)

Thay vào biểu thức \( M \):
\[ M = \sin^2 20^\circ + \frac{3}{4} - \sin^2 40^\circ - (1 - \sin^2 40^\circ) + \frac{1}{4} + (1 - \sin^2 20^\circ) \]

Rút gọn:
\[ M = \sin^2 20^\circ + \frac{3}{4} - \sin^2 40^\circ - 1 + \sin^2 40^\circ + \frac{1}{4} + 1 - \sin^2 20^\circ \]
\[ M = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \]
\[ M = 1 \]

### b) Sắp xếp các tỉ số lượng giác theo thứ tự tăng dần

Các tỉ số lượng giác cần sắp xếp là:
- \(\sin 41^\circ\)
- \(\cos 58^\circ\)
- \(\cot 49^\circ\)
- \(\cos 75^\circ\)
- \(\sin 25^\circ\)

Sử dụng các công thức bổ sung:
- \(\cos 58^\circ = \sin (90^\circ - 58^\circ) = \sin 32^\circ\)
- \(\cot 49^\circ = \frac{1}{\tan 49^\circ} = \frac{1}{\tan (90^\circ - 41^\circ)} = \frac{1}{\cot 41^\circ} = \tan 41^\circ\)
- \(\cos 75^\circ = \sin (90^\circ - 75^\circ) = \sin 15^\circ\)

Do đó, các tỉ số cần sắp xếp là:
- \(\sin 41^\circ\)
- \(\sin 32^\circ\)
- \(\tan 41^\circ\)
- \(\sin 15^\circ\)
- \(\sin 25^\circ\)

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
\[ \sin 15^\circ < \sin 25^\circ < \sin 32^\circ < \sin 41^\circ < \tan 41^\circ \]

Vậy thứ tự tăng dần là:
\[ \cos 75^\circ < \sin 25^\circ < \cos 58^\circ < \sin 41^\circ < \cot 49^\circ \]