Để chứng minh các phần của bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tiếp tuyến và đường tròn.

a) Giả sử \( P \in (O) \). Vẽ đường thẳng \( a \) đi qua \( P \) và vuông góc với \( OP \). Chứng minh rằng \( a \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \( P \).

**Chứng minh:**

- Theo giả thiết, \( P \) nằm trên đường tròn \( (O) \), tức là \( OP = R \) (bán kính của đường tròn).
- Đường thẳng \( a \) đi qua \( P \) và vuông góc với \( OP \).
- Theo định nghĩa của tiếp tuyến, một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \( P \) nếu nó vuông góc với bán kính tại điểm đó.
- Vì \( a \) vuông góc với \( OP \) tại \( P \), nên \( a \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \( P \).

b) Giả sử \( P \) nằm ngoài \( (O) \). Vẽ đường tròn đường kính \( OP \). Đường tròn vừa vẽ cắt \( (O) \) tại \( A \) và \( B \). Chứng minh rằng \( PA \) và \( PB \) là hai tiếp tuyến của \( (O) \).

**Chứng minh:**

- Gọi \( O' \) là tâm của đường tròn đường kính \( OP \). Khi đó \( O' \) nằm trên đoạn \( OP \) và \( O'P = \frac{OP}{2} \).
- Đường tròn đường kính \( OP \) cắt đường tròn \( (O) \) tại \( A \) và \( B \).
- Ta có \( O'A = O'B = \frac{OP}{2} \) (bán kính của đường tròn đường kính \( OP \)).
- Xét tam giác \( OAP \):
- \( O'A = O'P \) (bán kính của đường tròn đường kính \( OP \)).
- \( O'A = O'B \) (bán kính của đường tròn đường kính \( OP \)).
- \( O'P = O'A \).
- Do đó, tam giác \( OAP \) là tam giác vuông tại \( A \) (theo định lý đường kính và tiếp tuyến).
- Tương tự, tam giác \( OBP \) cũng là tam giác vuông tại \( B \).
- Vì \( OAP \) và \( OBP \) là các tam giác vuông tại \( A \) và \( B \), nên \( PA \) và \( PB \) vuông góc với bán kính \( OA \) và \( OB \) tại \( A \) và \( B \).
- Theo định nghĩa của tiếp tuyến, \( PA \) và \( PB \) là các tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \( A \) và \( B \).

Vậy, ta đã chứng minh rằng \( PA \) và \( PB \) là hai tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).