Để tính giới hạn \(\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{e^{x-2} - 1} \right)\), chúng ta cần phân tích biểu thức này khi \(x\) tiến đến 2.

Đầu tiên, hãy đặt \(y = x - 2\). Khi \(x \to 2\), thì \(y \to 0\). Do đó, giới hạn ban đầu có thể được viết lại dưới dạng:

\[
\lim_{y \to 0} \left( \frac{1}{y} - \frac{1}{e^y - 1} \right)
\]

Bây giờ, chúng ta cần phân tích biểu thức \(\frac{1}{y} - \frac{1}{e^y - 1}\). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng khai triển Taylor của \(e^y\) xung quanh \(y = 0\):

\[
e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \cdots
\]

Do đó,

\[
e^y - 1 = y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \cdots
\]

Khi \(y\) rất nhỏ, các số hạng bậc cao hơn của \(y\) trở nên không đáng kể, vì vậy:

\[
e^y - 1 \approx y
\]

Bây giờ, chúng ta thay thế vào biểu thức giới hạn:

\[
\lim_{y \to 0} \left( \frac{1}{y} - \frac{1}{y} \right)
\]

Rõ ràng rằng:

\[
\frac{1}{y} - \frac{1}{y} = 0
\]

Do đó, giới hạn của biểu thức ban đầu là:

\[
\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{e^{x-2} - 1} \right) = 0
\]

Vậy, kết quả của giới hạn này là:

\[
0
\]