Tính giá trị của các biểu thức

Để tính giá trị của các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### a) M = 1002 − 992 + 982 − 972 + ... + 22 − 12

Biểu thức này có dạng tổng của các hiệu bình phương của các số chẵn và lẻ liên tiếp. Chúng ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng:

\[ M = (100^2 - 99^2) + (98^2 - 97^2) + \ldots + (2^2 - 1^2) \]

Sử dụng công thức hiệu bình phương:

\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

Chúng ta có:

\[ 100^2 - 99^2 = (100 - 99)(100 + 99) = 1 \cdot 199 = 199 \]
\[ 98^2 - 97^2 = (98 - 97)(98 + 97) = 1 \cdot 195 = 195 \]
\[ \ldots \]
\[ 2^2 - 1^2 = (2 - 1)(2 + 1) = 1 \cdot 3 = 3 \]

Như vậy, biểu thức M trở thành tổng của các số lẻ từ 3 đến 199:

\[ M = 199 + 195 + 191 + \ldots + 3 \]

Đây là một dãy số lẻ giảm dần. Số hạng đầu tiên là 199 và số hạng cuối cùng là 3. Để tính tổng của dãy số này, chúng ta cần biết số lượng số hạng trong dãy.

Số lượng số hạng trong dãy số lẻ từ 3 đến 199 là:

\[ n = \frac{199 - 3}{2} + 1 = \frac{196}{2} + 1 = 98 + 1 = 99 \]

Tổng của dãy số lẻ có thể tính bằng công thức tổng của dãy số lẻ:

\[ S = \frac{n}{2} \cdot (số hạng đầu + số hạng cuối) \]

\[ S = \frac{99}{2} \cdot (199 + 3) = \frac{99}{2} \cdot 202 = 99 \cdot 101 = 9999 \]

Vậy giá trị của \( M \) là:

\[ M = 9999 \]

### b) N = (202 + 182 + 162 + ... + 42 + 22) − (192 + 172 + 152 + ... + 32 + 12)

Biểu thức này có dạng tổng của các bình phương của các số chẵn trừ đi tổng của các bình phương của các số lẻ. Chúng ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng:

\[ N = \sum_{k=1}^{10} (2k)^2 - \sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2 \]

Chúng ta tính từng phần riêng biệt:

\[ \sum_{k=1}^{10} (2k)^2 = 2^2 + 4^2 + 6^2 + \ldots + 20^2 \]
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2 = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \ldots + 19^2 \]

Sử dụng công thức tổng của bình phương các số chẵn và lẻ:

\[ \sum_{k=1}^{n} (2k)^2 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
\[ \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \]

Với \( n = 10 \):

\[ \sum_{k=1}^{10} (2k)^2 = 4 \cdot \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 4 \cdot 385 = 1540 \]
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2 = \frac{10 \cdot 19 \cdot 21}{3} = 1330 \]

Vậy giá trị của \( N \) là:

\[ N = 1540 - 1330 = 210 \]

Tóm lại, giá trị của các biểu thức là:
a) \( M = 9999 \)
b) \( N = 210 \)