Để tìm dư của phép chia đa thức \( f(x) \) cho \( (x-1)(x+2) \), ta cần tìm một đa thức \( g(x) \) sao cho \( f(x) = (x-1)(x+2)q(x) + g(x) \), trong đó \( g(x) \) là đa thức bậc nhất (vì bậc của \( (x-1)(x+2) \) là 2).

Giả sử \( g(x) = ax + b \).

Theo đề bài, ta có:
1. \( f(x) \) chia cho \( x-1 \) dư 7, tức là \( f(1) = 7 \).
2. \( f(x) \) chia cho \( x+2 \) dư 1, tức là \( f(-2) = 1 \).

Thay \( x = 1 \) vào phương trình \( f(x) = (x-1)(x+2)q(x) + ax + b \), ta được:
\[ f(1) = (1-1)(1+2)q(1) + a(1) + b = 0 \cdot 3 \cdot q(1) + a + b = a + b \]
Do đó:
\[ a + b = 7 \]

Thay \( x = -2 \) vào phương trình \( f(x) = (x-1)(x+2)q(x) + ax + b \), ta được:
\[ f(-2) = (-2-1)(-2+2)q(-2) + a(-2) + b = (-3)(0)q(-2) - 2a + b = -2a + b \]
Do đó:
\[ -2a + b = 1 \]

Ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
a + b = 7 \\
-2a + b = 1
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này, ta trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:
\[ (-2a + b) - (a + b) = 1 - 7 \]
\[ -3a = -6 \]
\[ a = 2 \]

Thay \( a = 2 \) vào phương trình \( a + b = 7 \):
\[ 2 + b = 7 \]
\[ b = 5 \]

Vậy \( g(x) = 2x + 5 \).

Do đó, dư của phép chia \( f(x) \) cho \( (x-1)(x+2) \) là \( 2x + 5 \).