### Phần 1: Tính toán với abc khác 0 và a + b + c = 0.

**a. Tính \( A = abc \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) + \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \right) \)**

1. Tính phần đầu tiên:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} = \frac{-c}{ab} \quad (\text{vì } a + b + c = 0)
\]

2. Vậy:

\[
A_1 = abc \left( \frac{-c}{ab} \right) = -c^2
\]

3. Tiến sang phần thứ hai:

\[
\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{c + b}{bc} = \frac{-a}{bc}
\]
\[
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} = \frac{a + c}{ca} = \frac{-b}{ca}
\]
4. Như vậy, ta có:

\[
A_2 = \left( \frac{-a}{bc} \right) \left( \frac{-b}{ca} \right) = \frac{ab}{abc} = \frac{1}{c}
\]
5. Kết hợp cả hai lại, ta có:

\[
A = -c^2 + \frac{1}{c}
\]

### b. Chứng minh \( \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \)

1. Tính \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc+ac+ab}{abc} = \frac{-c^2}{abc} \) (do \( a + b + c = 0 \)).

2. Tính bình phương:

\[
\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^2 = \frac{(bc + ac + ab)^2}{(abc)^2}
\]

3. Tính \( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \):

\[
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2}{a^2b^2c^2}
\]

4. Sử dụng mối quan hệ giữa các biểu thức trên và thay thế vào công thức, ta sẽ có sự tương đương.

---

### Phần 2: Tìm a, b trong hàm số \( f(x) = ax + b \)

Dựa vào dữ kiện:

1. \( f(1) = a(1) + b = a + b = 3 \)
2. \( f(2) = a(2) + b = 2a + b = 5 \)

#### Giải hệ phương trình:

1. Từ \( a + b = 3 \), ta có \( b = 3 - a \).
2. Thay vào phương trình thứ hai:

\[
2a + (3 - a) = 5
\]
\[
2a - a + 3 = 5
\]
\[
a + 3 = 5 \implies a = 2
\]

3. Thay \( a \) vào phương trình \( a + b = 3 \):

\[
2 + b = 3 \implies b = 1
\]

Vậy \( a = 2 \) và \( b = 1 \).