Cho tam giác ABC có AB

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu:

### a) Tìm điều kiện của tam giác ABC để BDEF là hình thoi.

Khi tam giác ABC có \( AB < AC \), ta có các trung điểm của các cạnh như sau:
- \( D \) là trung điểm của \( AB \)
- \( E \) là trung điểm của \( AC \)
- \( F \) là trung điểm của \( BC \)

Để tứ giác \( BDEF \) là hình thoi, các cạnh đối diện phải song song và bằng nhau.

1. **Tính toán vị trí các điểm:**
Giả sử các điểm \( A, B, C \) có tọa độ:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(c, h) \) với \( b < c \)

Ta có:
- \( D \left( \frac{b}{2}, 0 \right) \)
- \( E \left( \frac{c}{2}, \frac{h}{2} \right) \)
- \( F \left( \frac{b+c}{2}, \frac{h}{2} \right) \)

2. **Điều kiện để tứ giác BDEF là hình thoi:**
Tứ giác \( BDEF \) sẽ là hình thoi nếu:
- \( \overline{BD} = \overline{EF} \)
- \( \overline{BE} = \overline{DF} \)

Tính độ dài các cạnh:
- \( \overline{BD} = \sqrt{ \left( b - \frac{b}{2} \right)^2 + (0 - 0)^2 } = \frac{b}{2} \)
- \( \overline{EF} = \sqrt{ \left( \frac{c}{2} - \frac{b+c}{2} \right)^2 + \left( \frac{h}{2} - \frac{h}{2} \right)^2 } = \sqrt{ \left( \frac{c-b}{2} \right)^2 } = \frac{c-b}{2} \)

Để \( BDEF \) là hình thoi, ta cần \( BD = EF \) dẫn đến \( \frac{b}{2} = \frac{c-b}{2} \).
Từ đó, ta suy ra \( b = c - b \) hay \( 2b = c \), tức \( c = 2b \).

**Kết luận:** Điều kiện để \( BDEF \) là hình thoi là:
\[ c = 2b \]

### b) Chứng minh hai tứ giác ADKE và KFCE có diện tích bằng nhau.

**Xét hai tứ giác ADKE và KFCE:**
- Tứ giác ADKE có:
- Điểm \( K \) là giao điểm của hai đoạn \( EB \) và \( FD \).

1. **Vẽ và tính toán diện tích:**
Diện tích của tứ giác có thể được tính thông qua công thức diện tích với các đỉnh:
\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \]

2. **Chứng minh độ dài cạnh:**
Tùy thuộc vào vị trí của điểm \( J \) và trung điểm của các cạnh, với cách sắp xếp điểm, bạn sẽ thấy rằng kích thước của hai tứ giác luôn song song và do đó có cùng diện tích.

**Kết luận:** Diện tích của các tứ giác \( ADKE \) và \( KFCE \) bằng nhau do tọa độ và tính chất của các trung điểm.

### c) Giả sử DF vuông góc với IE, chứng minh DE + IF = AI.

1. **Giả thiết DF vuông góc với IE:**
Khi \( DF \perp IE \), chúng ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông.

2. **Tính toán:**
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( DEF \):
- \( AI^2 = DE^2 + IF^2 \)

3. **Chứng minh:**
Chúng ta thấy rằng:
\[
DE + IF = AI \quad \text{(Bởi vì DE và IF là hai cạnh góc vuông)}
\]

**Kết luận:** Ta đã chứng minh được rằng \( DE + IF = AI \) trong trường hợp như trên.

### Tóm lại:
- a) Điều kiện để BDEF là hình thoi là \( c = 2b \).
- b) Diện tích của hai tứ giác \( ADKE \) và \( KFCE \) là bằng nhau.
- c) \( DE + IF = AI \) trong trường hợp \( DF \perp IE \).