Để chứng minh các biểu thức chia hết cho số được yêu cầu, ta sẽ kiểm tra từng trường hợp một:

### 1. Biểu thức \(B\):
\[
B = \frac{n(n+5) - (n-3)(n+2)}{6}
\]
**Chứng minh:**
- Mở rộng các biểu thức:
\[
n(n+5) = n^2 + 5n
\]
\[
(n-3)(n+2) = n^2 - n - 6
\]
- Thay vào:
\[
B = \frac{(n^2 + 5n) - (n^2 - n - 6)}{6} = \frac{6n + 6}{6} = n + 1
\]
- Vì \(n + 1\) là số nguyên thuộc \(\mathbb{Z}\), vậy \(B\) chia hết cho 1.

### 2. Biểu thức \(C\):
\[
C = \frac{(n^2 + 3n - 1)(n + 2) - n^3 + 2}{5}
\]
**Chứng minh:**
- Mở rộng và tính toán:
\[
(n^2 + 3n - 1)(n + 2) = n^3 + 2n^2 + 3n^2 + 6n - n - 2 = n^3 + 5n^2 + 5n - 2
\]
- Thay vào:
\[
C = \frac{(n^3 + 5n^2 + 5n - 2) - n^3 + 2}{5} = \frac{5n^2 + 5n}{5} = n^2 + n
\]
- Vì \(n^2 + n\) là số nguyên thuộc \(\mathbb{Z}\), vậy \(C\) chia hết cho 1.

### 3. Biểu thức \(D\):
\[
D = \frac{(2n + 1)(n^2 - 3n - 1) - 2n^3 + 1}{5}
\]
**Chứng minh:**
- Tính giá trị:
\[
(2n + 1)(n^2 - 3n - 1) = 2n^3 - 6n^2 - 2n + n^2 - 3n - 1 = 2n^3 - 5n^2 - 5n - 1
\]
- Thay vào:
\[
D = \frac{(2n^3 - 5n^2 - 5n - 1) - 2n^3 + 1}{5} = \frac{-5n^2 - 5n}{5} = -n^2 - n
\]
- Vì \(-n^2 - n\) là số nguyên thuộc \(\mathbb{Z}\), vậy \(D\) chia hết cho 1.

### 4. Biểu thức \(E\):
\[
E = \frac{[(n-1)(n+1) - (n-7)(n-5)]}{12}
\]
**Chứng minh:**
- Tính giá trị:
\[
(n-1)(n+1) = n^2 - 1
\]
\[
(n-7)(n-5) = n^2 - 12n + 35
\]
- Thay vào:
\[
E = \frac{n^2 - 1 - (n^2 - 12n + 35)}{12} = \frac{12n - 36}{12} = n - 3
\]
- Vì \(n - 3\) là số nguyên thuộc \(\mathbb{Z}\), vậy \(E\) chia hết cho 1.

### Kết luận:
Tất cả các biểu thức \(B\), \(C\), \(D\), và \(E\) đều chia hết cho 1 (hay 6 cho B, 5 cho C, D, và 12 cho E) dựa trên tập hợp các số nguyên \(\mathbb{Z}\).