Chúng ta sẽ chứng minh từng kết luận một.

**1. Chứng minh rằng nếu \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\) và \(a, b, c > 0\) thì \(a = b = c\):**

Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức Cauchy-Schwarz).

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\[
a^3 + b^3 + c^3 \geq 3\sqrt[3]{a^3 b^3 c^3}
\]

Do \(a, b, c > 0\) nên:
\[
3\sqrt[3]{a^3 b^3 c^3} = 3abc
\]

Do đó, từ phương trình \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\), ta có:
\[
a^3 + b^3 + c^3 = 3\sqrt[3]{a^3 b^3 c^3}
\]

Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\). Do đó:
\[
a = b = c
\]

**2. Chứng minh rằng nếu \(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd\) và \(a, b, c, d > 0\) thì \(a = b = c = d\):**

Chúng ta sẽ sử dụng cách tiếp cận tương tự với bất đẳng thức AM-GM.

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\[
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \geq 4\sqrt[4]{a^4 b^4 c^4 d^4}
\]

Do \(a, b, c, d > 0\) nên:
\[
4\sqrt[4]{a^4 b^4 c^4 d^4} = 4abcd
\]

Do đó, từ phương trình \(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd\), ta có:
\[
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4\sqrt[4]{a^4 b^4 c^4 d^4}
\]

Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = d\). Do đó:
\[
a = b = c = d
\]

Như vậy ta đã chứng minh rằng nếu \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\) và \(a, b, c > 0\) thì \(a = b = c\); nếu \(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd\) và \(a, b, c, d > 0\) thì \(a = b = c = d\).