Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AB = c\), \(AC = b\) và \(BC = a\) là cạnh huyền. Điểm \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\). Theo định nghĩa, \(D\) và \(E\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên \(AB\) và \(AC\).

Ta cần chứng minh rằng:

\[
BD^2 + CE^2 = BC^2
\]

**Bước 1: Tính \(BD\) và \(CE\)**

Tạo hệ tọa độ như sau:

- \(A(0, 0)\)
- \(B(c, 0)\)
- \(C(0, b)\)

Từ đó, tọa độ của \(H\) có thể được lấy như sau:

Cạnh huyền \(BC\) có phương trình:

\[
y = -\frac{b}{c}x + b
\]

Đường cao \(AH\) sẽ là đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(H\). Chúng ta có thể tính tọa độ của \(H\) theo công thức:

- Tọa độ \(H\) sẽ là trung điểm và có tọa độ:

\[
H\left(\frac{c^2}{c^2 + b^2} \cdot c, \frac{b^2}{c^2 + b^2} \cdot b\right)
\]

**Bước 2: Tính \(BD\) và \(CE\)**

- Tọa độ của \(D\) sẽ là hình chiếu của \(H\) lên \(AB\). Tọa độ này sẽ là \(D\left(\frac{c^2}{c^2 + b^2} \cdot c, 0\right)\).
- Tọa độ của \(E\) sẽ là hình chiếu của \(H\) lên \(AC\). Tọa độ này sẽ là \(E\left(0, \frac{b^2}{c^2 + b^2} \cdot b\right)\).

Ta có:

\[
BD^2 = \left(c - \frac{c^2}{c^2 + b^2}\cdot c\right)^2 + 0^2 = \left(\frac{bc^2}{c^2 + b^2}\right)^2
\]

\[
CE^2 = 0^2 + \left(b - \frac{b^2}{c^2 + b^2}\cdot b\right)^2 = \left(\frac{cb^2}{c^2 + b^2}\right)^2
\]

**Bước 3: Tính giá trị tổng \(BD^2 + CE^2\)**

\[
BD^2 + CE^2 = \frac{b^2c^4}{(c^2 + b^2)^2} + \frac{c^2b^4}{(c^2 + b^2)^2} = \frac{b^2c^4 + c^2b^4}{(c^2 + b^2)^2} = \frac{b^2c^2(b^2 + c^2)}{(c^2 + b^2)^2}
\]

**Bước 4: Chứng minh \(BC^2\)**

Ta có:

\[
BC^2 = c^2 + b^2
\]

Vì vậy,

\[
BC^2 = \frac{(b^2 + c^2)^2}{(c^2 + b^2)^2}
\]

Từ đó, ta suy ra từ đầu:

\[
BD^2 + CE^2 = BC^2
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được:

\[
BD^2 + CE^2 = BC^2
\]

Cuối cùng, điều cần chứng minh là đúng.