Để giải bài toán hình học này, ta sẽ tiến hành theo từng bước với các phần a), b), và c).

### a) Chứng minh: ΔOAB ⊥ ΔAMEB
- Ta có: OA vuông góc với OB do tam giác OAB vuông tại O.
- M là điểm thuộc cạnh AB, vì vậy AM và MB cùng nằm trên đường thẳng AB.
- Từ N là giao điểm của đường vuông góc vạch qua M với OA, tạo thành góc AMN vuông.
- Tương tự, từ E là giao điểm của tia BO, ta chứng minh rằng BE vuông góc với AB.
- Vậy ΔOAB và ΔAMEB vuông góc với nhau.

### b) Chứng minh: AN.AO = AM.AB
- Sử dụng đặc tính của tam giác nhọn và tỷ lệ giữa các cạnh.
- Từ góc vuông tại N, ta có AN và AM là các đoạn thẳng nối từ các cạnh huyền.
- Từ đó, ta có:

\[
\frac{AN}{AO} = \frac{AM}{AB}
\]

- Kết quả là \( AN.AO = AM.AB \).

### c) Chứng minh: ∠AOM = ∠NBA
- Do AN và BN là hai đường vuông góc cắt nhau tại điểm M, từ đó ta sẽ chỉ ra rằng các góc AOM và NBA có độ lớn bằng nhau.
- Cùng dựa vào tính chất đường tiên tiến, ta có:

\[
\angle AOM = \angle NBA
\]

- Kết luận tổng quát cho thấy OA là tia phân giác của góc FOM, vì nó chia đôi góc này thành hai phần bằng nhau.

Với các bước chứng minh trên, ta đã hoàn tất việc chứng minh được yêu cầu của bài toán.