Để giải bài toán về tam giác vuông tại A với thông tin đã cho, ta thực hiện các bước như sau:

### 1) Chứng minh ΔABC ~ ΔHBA và AB² = BH * BC:
Tam giác ABC là tam giác vuông tại A với AB = 9 cm và AC = 12 cm.

- Tính cạnh BC (cạnh huyền):
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

- Do hai tam giác ABC và HBA đều có góc vuông tại A và có chung góc B, nên ta có ΔABC ~ ΔHBA.

- Từ định lý tương ứng của các tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AB}{AH} = \frac{AH}{BC} \Rightarrow AB^2 = AH \cdot BC
\]

### 2) Kẻ đường phân giác CD của tam giác ABC (D ∈ AB), tính BC, AD:
- Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}
\]
- Tính tỉ số:
\[
AD = \frac{AC}{AC + AB} \cdot AB = \frac{12}{12 + 9} \cdot 9 = \frac{12 \cdot 9}{21} = \frac{108}{21} = 5.14 \text{ cm}
\]

### 3) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CD tại E và cắt đường thẳng AH tại F:
- Kẻ đường thẳng từ B vuông góc với CD, điểm E nằm trên CD, và đường thẳng này cắt AH tại F.

### Kết luận:
Như vậy, với các phép tính và chứng minh trên, ta có thể hoàn thành bài toán. Nếu cần giải thích thêm ở từng bước hay có phần cụ thể nào cần tính, hãy cho tôi biết!